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这一派又叫做原子论派（atomism），主张：
分割物质，在很大的「有穷步骤」之内就会抵达「不可分割」的境地，叫做「原子」（atom）；
万物都是原子组成的。
原子不生不灭，其不同的排列组合，导致了大自然的生成与变化之道。
离散派或有穷派最主要的代表人物，是毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前585～500）、留基波斯（Leucippus，约公元前460～390）与德谟克列特斯（Democritus，约公元前460～370）等人。
连续派：
这一派主张：
物质是连续的，可以作「无穷步骤」的分割，没完没了。
但是，分割到最后会剩下什么，却陷入困局。
如果回答说是「空无」（nothing），那么物质是由空无组成的，这种「无中生有」（somethingoutofnothing）是不可思议之事。
如果回答说是「无穷小」（infinitesimal），那么什么是无穷小？
这更令人困惑。
我们举几个连续派的例子。
在春秋战国末期，公孙龙（约公元前325～250）说：
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
古希腊哲学家安那萨哥拉斯（Anaxagoras，公元前500～428）说：
在小当中没有最小，因为小中恒有更小。
（Inthesmallthereisnosmallest,thereisalwaysasmaller.）文档来自于网络搜索
这跟老子所说的「至大无外，至小无内」有异曲同工之妙。
再如，英国讽刺小说家斯威夫特（Swift，1667～1745，即《Gulliver游记》的作者）也说：
在一只跳蚤身上有一只更小的跳蚤在吸吮，在更小的跳蚤身上又有一只更小更小的跳蚤在吸吮；
如此继续下去，永世不竭。
上述例子，都是连续派或无穷派的最佳写照。
点与线段的三个基本问题
「点」（point）是几何图形的最基本要素，相当于几何学的「原子」。
当我们剖析几何图形的组成时，得到体、面、线，最后是点。
反过来说，动点成线，动线成面，动面成体。
前者是「分析」（Analysis），后者是「综合」（Synthesis）。
既然线段是由点组成的，于是自然产生下面三个基本问题：
问题1：
点有多大？
问题2：
如何由点的长度，累积成线段的长度？
问题3：
线段含有多少点？
这三个问题都很有深度，追究起来又会遇到两个相关的问题：
线段是离散的或连续的？
线段是有穷可分的（finitelydivisible）或无穷可分的（infinitelydivisible）？
从而，又分成离散派与连续派。
离散派主张：
点虽然很小很小，但有一定的长度，像小珠子一样，线段是由这些小珠点连起来的。
连续派则主张：
点的长度为0，线段是连续的、无穷可分的。
这就涉及深奥的无穷与连续统之谜（theenigmaofinfinityandcontinuum），经常伴随着诡论之出现，例如著名的季诺诡论（Zeno'
sparadoxes）。
长久以来，这两派思想的论争，对于促进数学、物理学、哲学的进展，一直扮演着主导的角色。
连续派富于想象，离散派注重实际。
数学史家倍尔（E.T.Bell,1883～1960）说得好：
整个数学史，可以看作是离散与连续这两个概念的论争史。
这个论争可能只是早期希腊哲学上著名的「一与多」（亦即「变」与「不变」）论争的余波荡漾。
然而，把它们看作是「你存我亡或我存你亡」式的论争并不恰当，至少在数学里，离散与连续经常是相辅相成地促成了进步。
毕氏学派的万有皆整数与调和
古埃及与巴比伦累积了数千年的直观经验几何知识，传到了古希腊人的手上，泰利斯（Thales，约公元前625～546）首先尝试将它们组织成逻辑系统。
接着是毕氏学派（Pythagoreanschool），他们为了建立几何学的基础，采用「离散的世界观」，认为线段是由离散的（discrete）、且具有一定大小的点，串连起来的。
据此，他们解答了上述三个问题：
线段只能作有穷步骤的分割，就到达了「点」。
点虽然很小很小，但是其长度d>
0，线段的长度等于其组成点的长度之相加，这只是有穷项之求和（微观与宏观的连系）。
线段只含有穷多点。
进一步，他们提出：
任何两线段皆可共度（commensurable），亦即对于任意两线段a与b，恒存在一个共度单位u>
0，使得
，
，其中m、n皆为自然数。
在毕氏学派「离散的世界观」之下，这是一个自然的结论，因为至少一个点的长度就是一个共度单位。
从而，线段的度量只会出现「整数或整数比」（即有理数）。
另外，毕氏也发现了毕氏音律，悦耳调和的音，其弦长成简单整数比。
毕氏学派的世界是「整数与整数比」的世界，这是他们主张「万有皆整数与调和」（Alliswholenumbersandharmony）之所本。
在任何两线段皆可共度的条件下，毕氏学派证明了长方形的面积公式与相似三角形基本定理，进一步推导出勾股定理，他们相当成功地将几何学建立在「整数与整数比」的算术基础上面，我们不妨称之为：
几何学的算术化与原子论化的研究纲领（researchprogram）。
后来由于发现了正方形的边与对角线，以及正五边形的边与对角线，都是不可共度的（incommensurable）。
这等价于
与
不能表为整数比，即它们都是无理数（或非比数），我们可以利用归谬法加以证明。
这导致了毕氏学派的失败，史称第一次的数学危机。
欧氏的几何学研究纲领
欧氏（Euclid）重建几何学，是在纪元前三百年完成的。
他吸取毕氏学派失败的经验，改采「连续的世界观」，主张直线与平面都是「连续的」，可作无穷步骤的分割，最后得到的是「点」。
《欧氏原本》开宗明义就提出23个定义（Hilbert在1900年提出著名的23个问题），其中前三个就是：
1.点是没有部分的（Apointisthatwhichhasnopart.）。
2.线段只有长度而没有宽度（Alineisbreadthlesslength.）。
3.线段是由点组成的（Theextremitiesofalinearepoints.）。
这些都是修正毕氏学派的失败而得到的。
第一个定义是说，点只占有位置而没有长度。
点是「至小」，故「无内」。
三个定义合起来，显示线段含有无穷多个点。
在论及线段的长度时，欧氏根本就不用「由没有长度的点，累积成有长度的线段」之论点，而直接诉诸直观常识，避开了这种「无中生有」的困局。
然而，这些都不是欧氏的重心。
他的「主调」是，重新分析既有的几何知识（古希腊的所谓「Geometricanalysis」），另辟蹊径，改用几何本身来建立几何，并且采用公理化的手法（axiomaticmethod），最后归结出五条几何公理，这是最精彩的创造发现过程（thecontextofdiscovery）。
接着是综合，由公理推导出所有几何定理，这是逻辑验证过程（thecontextofjustification）。
欧式几何的创立过程，是古希腊最著名的分析与综合之示范；
从泰利斯经毕氏学派到欧氏，约经历了三百年，这也是古希腊文明所产生的精品。
欧氏几何的五条公理是：
1.过两点能作且只能作一直线。
（直线公理）
2.线段（有限直线）可以无限地延长。
3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆（圆公理）。
4.凡是直角都相等（角公理）。
5.在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一直线跟已知直线平行（平行公理）。
再加上五个一般公理：
6.跟同一个量相等的两个量相等，即若a=c且b=c，则a=b。
7.等量加等量，其和相等，即若a=b且c=d，则a+c=b+d。
8.等量减等量，其差相等，即若a=b且c=d，则a-c=b-d。
9.完全叠合的两个图形相等（叠合公理）。
10.全量大于分量，即a+b>
a。
这些公理欧式都看作是直观自明的真理（obviousandself-evidenttruths）,他由此逻辑地推导出当时已知的所有几何定理。
「真值」（truthvalue）由公理的源头输入，那么真值就沿着逻辑网络流布于整个欧式几何的系统。
在欧式几何中，最重要的几个定理是：
勾股定理、三角形三内角和定理、三角形的全等定理（,,，等等。
欧式几何的演绎系统，揭示了什么是真正的证明标准，并且这种「立公理再演绎」的模式，变成往后一切数学与科学理论模仿的典范。
一门学问发展到成熟的阶段，总是以演绎系统的形式来展现。
因此欧式几何的精神可以说是「流传千古，向荣长青」。
爱因斯坦说的好：
如果欧氏无法点燃你年轻的热情，那么你生来就不是一位科学的思想家。
（IfEuclidfailedtokindleyouryouthfulenthusiasm,thenyouwerenotborntobeascientificthinker.）文档来自于网络搜索
从科学的哲学或数学教育的眼光来看，我们更感兴趣的问题是：
欧氏如何做出欧氏几何？
尤其他的分析发现过程是如何做的？
（详见本刊26卷6～7期）文档来自于网络搜索
笔者认为，在中学的养成教育过程中，如果忽略了欧式几何，那实在是弃珍珠而捡沙石。
无论数学课程如何修订，欧氏几何都是不能缩水的精华。
解析几何
当托勒密（Ptolemy）国王问学于欧氏：
「学几何有没有快捷方式？
」欧氏回答说：
在几何学之中，并没有皇家大道。
（Thereisnoroyalroadingeometry.）文档来自于网络搜索
两千年来几何都没有什么进展，一直等到十七世纪笛卡儿（Descartes,1596～1650）与费玛（Fermat,1601～1665）独立地发明解析几何，才被誉为找到了「几何的皇家大道」。
欧氏之后，大家都接受：
点的长度为0，直线由点所组成的并且是连续的。
虽然我们无法由点的长度累积出线段的长度，但是在常识上每个人对线段都有直观的长度概念，因此并不烦恼。
解析几何利用坐标系将「连续的直线」与「直观的实数系」等同起来，进一步将平面上的点跟数对（x,y）对应起来，使得方程式f（x,y）=0与几何图形可以互相转化，沟通了代数学与几何学。
从此，代数的工于计算与几何的富于直观，达到「鱼与熊掌」可以兼得的境界，数与形又合一。
解析几何一方面解放了欧氏几何，另一方面又为微积分的发明铺路。
另一个重要意义是，人们办到了古希腊哲学家办不到的事情，给人增添无比的信心。
笛卡儿说：
当我领悟到可以将一条直线、一条曲线表成方程式时，让我感受到美如《伊里亚特》（Iliad，为荷马所作之史诗）。
当我看见这个方程式在我的手中解出来时，绽放出无穷的真理，光耀夺目、毫无可疑、永恒美丽，我相信我拥有了一把可以进入每一个神秘之门的钥匙。
这种信心的普遍根植，在十七世纪后半叶完成了数学与物理学的革命。
微积分的诞生
根据欧式几何的定义：
点只占有位置，没有大小；
线段只有长度，没有宽度；
面只有长度与宽度，但没有厚度。
因此，欧氏的点、线、面都不生存在这个现实世界，而生存在柏拉图的「理念与形的世界」（thePlato'
sworldofideasandforms）。
任何在纸面上做出的几何图形都不正确，所以有人说：
「几何学就是利用不正确的图形，做正确推理的艺术。
」文档来自于网络搜索
线段由无穷多个点组成，而点的长度为0，无穷多个0加起来会等于线段的长吗？
这个难题使得局部的点与大域的线段之间，存有不可踰越的鸿沟（gap）而无法衔接，这就是「无穷」所产生的鸿沟。
同理，求面积与体积的问题也遇到了类似的困难。
长久以来，数学家想出各种替代方案，例如穷尽法、不可分割法、无穷小法、动态穷尽法等等，但这些都只是个案解决问题，并不是普遍的系统方法。
到了牛顿（Newton,1642～1727）与莱布尼慈（Leibniz,1646～1716）的手上，虽然点没有长度，但是他们在直线坐标系上引入「无穷小」dx，作为「点的长度」之解释与积分的对象。
由此逐步发展出微分法，解决求面积的千古难题，创立了微积分。
下面我们就来重建这个伟大的发现过程。
如图一所示，考虑线段[a,b]，将它分割成n段（不必等分），分割点为文档来自于网络搜索
图一
令第k段的长度为
，再将n段全部加起来，就得到
现在让分割越来越细，n越来越大，不过
（2）式仍然成立。
由于线段是连续的，可以作无穷步骤的分割；
今想象已经分割到使每一小段都变成「无穷小」，在x点处的无穷小记为dx，于是
（2）式连续化变成积分公式：
积分记号
表示无穷多个无穷小，从a到b连续地求和。
亚里斯多德说：
「线段不是由点组成的」，其实他的意思是说：
「线段的长度，不是由点的长度累积而成的。
」（3）式告诉我们，线段的长度是由局部的无穷小dx累积（即积分）而得到的，这初步解决了问题2。
我们称（3）式为完美的积分规则（theperfectintegralrule）。
其次，如图二所示，考虑一个函数y=F（x），定义在[a,b]上。
对于
（1）式之分割，相应地将函数图形台阶化，第k阶的升（降）高度为文档来自于网络搜索
图二
于是将n阶的升降高度全部加起来，就是从P点沿着台阶登到Q点的纯升高F（b）-F（a），亦即
作连续化得到
其中积分
表示无穷小的小精灵沿着y=F（x）的图形，每一阶升降的高度为
然后对x从a到b连续地求和。
另一方面，考虑一个连续函数y=f（x），其图形在[a,b]上所围成领域之面积。
这可以看成是无穷多个无穷小的长方形f（x）dx，对于x从a到b连续地求和，即积分
，参见图三。
图三
问题4：
如何求算积分
？
由（6）式即知，如果f（x）dx可以表成dF（x）之形，或
那么答案就是F（b）-F（a）。
定理一（微积分学根本定理）：
设f为定义在[a,b]上的一个连续函数。
如果可以找到另一个函数F，使得（8）式成立，则
此式叫做Newton-Leibniz公式。
问：
什么是算术根本定理、代数学根本定理？
牛顿与莱布尼慈独立地看出这个定理，所以后世史家就把微积分的发明归功于他们两个人。
什么是无穷小dx？
显然它不能等于0，否则又会落入「无中生有」的陷阱。
但是它也不能为一个有限正数，因为这会产生由无穷多个正数累积成无穷长的线段，跟常识矛盾。
无穷小是经过无穷步骤的分割而得到的，故它「要多小就有多小」，是活生生的。
不过，这又跟「不等于0」矛盾，因为一个实数若其绝对值可以「要多小就有多小」，那么它必等于0。
因此，无穷小具有「不等于0，并且要多小就有多小」之矛盾性格，这逼得无穷小不是一个实数，无穷小概念之诡谲可见一斑。
点的长度为0，无穷小dx不等于0。
无穷小才是积分的对象，而不是点！
利用无穷小可以帮忙我们看出微积分！
由F（x）求出
叫做微分；
给f（x），求F（x）使得（8）式成立，叫做反微分。
定理一告诉我们，问题4之积分解决于反微分的求算；
反微分的演算又建基于微分的演算。
因此，我们说微分法解决了求积分之难题。
此外，
可以解释为切线斜率、速度、密度、放大率、变化率等等。
例子:
设
，则
（因dx要多小就有多小，故可略掉）
我们也可以采用极限论证法：
两种算法殊途同归。
于是由定理一可知
微积分的基础
牛顿与莱布尼慈，在1680年左右分别发现微积分根本定理，但是并没有给出证明；
到了1820年代才由柯西（Cauchy,1789～1857）首次给出不完全的证明。
在证明的过程中，首先必须澄清极限概念（无穷小的概念更困难）以及连续函数的基本性质，而这些又都建立在实数系R上面。
因此，我们要问：
什么是实数系？
笛卡儿与费玛利用坐标系的办法，直观地将「实数系R」与「连续的直线」，等同起来，因而创立解析几何。
但是，这样对于实数系我们还是没有真正的了解。
比较建构性的办法是，由1出发，不断加1，就得到自然数系：
N={1,2,3,...}
再不断减1，就得到整数系：
Z={...,-2,-1,0,1,2,...}
接着考虑整数的相除（除数不为0），得到有理数系：
让我们回头考察毕氏学派「万有皆整数」的观点，毕氏学派以为有理数系（整数及其比值），就足以应付一切几何的度量问题。
换言之，将Q的元素表现为直线坐标系已经填满整条直线而没有漏洞，叫做有理数线。
后来毕氏学派发现了无理点（无理数），例如
，才知道有理数线还有许多缺口。
将所有的无理数加进有理数中，就是实数系R。
同理，在有理数线上补入所有的无理点，就得到实数线（therealline）。
实数线还有缺口吗？
戴德金（R.Dedekind,1831～1916）与康特（G.Cantor,1845～1918）如笛卡儿与费玛一样，他们认为：
实数线已是「天衣无缝」，没有缺口。
这是实数系完备性（或叫连续性）最直观生动的说法。
换个方式来说：
将实数线切割成两段，必切到一个实数点。
明确地说，若A与B为实数系的两个非空子集合，满足文档来自于网络搜索
则称（A,B）为R的一个戴德金切断（DedekindCut），A叫做下段，B叫做上段。
实数系的完备性（completeness）是说：
如果（A,B）为实数系R的一个戴德金切断，那么上段B含有一个最小元素或下段A含有一个最大元素。
两者必择其一文档来自于网络搜索
事实上，完备性有许多等价的（equivalent）说法，最常见而好用的说法如下：
（i）区间套的说法：
若
并且
则
（ii）递增且有上界的数列必有极限，即若
则极限值
存在（当然为实数）。
（iii）设
。
若A有上界，则A必有唯一的最小上界
，即若
，则存在唯一的
，使得对A的任何上界n，恒有
利用实数系的完备性以及极限的
定式，就可以证出连续函数的基本性质。
例如中间值定理（IntermediateValueTheorem），在闭区间[a,b]上的连续函数是有界的、均匀连续的，并且取得最大值与最小值。
由此，进一步可证出微积分根本定理。
从而整个微积分坚实地奠定在实数系上面。
再问：
实数系的完备性为什么成立呢？
这就必须实际建构实数系了。
此地我们只简介戴德金的建构法：
考虑有理数系Q的切断（cut），然后将Q的每一个戴德金切断等同为一个实数，一次就系统地完成Q的「炼石补天」工作；
定义出实数系R，再定义四则运算与大小关系，最后可证得R是一个完备的有序体（acompleteorderedfield）。
至此，微积分的寻根究底工作告一段落，这是1870年左右完成的。
总之，点与实数，连续的直线与完备的实数系皆合一。
点的长度为0，线段含有无穷多点，是连续的，这不只是含糊的直观而已，而是可以有戴德金完备性的说法；
进一步，还可以从Q建构出R并且证得R的完备性。
另一方面，微积分也可以建立在「无穷小论证法」上面。
不过，无穷小的理论基础一直要等到1960年代才由逻辑家罗宾森（A.Robinson,1918～1974）完成，今日叫做非标准分析学（NonstandardAnalysis）。
集合论
现在唯一不明的是：
线段含有无穷多点，这个「无穷」是什么？
可否进一步说明？
「连续统」（continuum）是什么？
这些问题正是康特所要追寻的，由此导致集合论（settheory）的诞生。
微积分与集合论分别是人类第一波与第二波的驯服无穷。
亚里斯多德将无穷分成实在的无穷（actualinfinity）与潜在的无穷（potentialinfinity），然后尽可能地避开前者。
欧氏亦然，他的第五公理（平行公理）其实是叙述成：
两直线被一直线所截，若在此截线的一侧它跟两直线所成的内角和小于一平角，则两直线在此侧相交。
这样就避开了平行公理所需用到的:
两直线无限地延伸，都不相交的说法。
伽利略研究自由落体，得到自由落体定律
，这是一个平方函数。
基于好奇心，他将自然数与其平方数作对应：
意外地发现自然数全体与平方数全体的元素个数一样多，但是后者只是前者的一部分，这违背了欧氏的「全体大于部分」之公理。
对此伽利略疑惑不解，称之为伽利略诡论（GalileoParadox,1638）。
因此欧氏公理只适用于有涯的世界，而不适用于无涯的世界。
微积分初步驯服无穷之后，人们对于「实在的无穷」仍然觉得恐惧。
高斯（C.F.Gauss,1777～1855）说：
涉及无穷大的量，如果指的是「实在的无穷」，这种用法在数学中是不允许的。
康特不但接受伽利略的「诡论」，而且还拿它当作「无穷集」的定义：
一个集合若存在有部分子集，其元素个数跟全体的一样
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