中考解直角三角形知识点整理复习Word文件下载.docx
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2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a
2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
sinA
A
的对边
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
cosA
的邻边
b
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
tanA
1
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
cotA
A的对边
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数30°
45°
60°
sinα
3
cosα
tanα
313
cotα31
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：
sinA=cos（90°
—A），cosA=sin（90°
—A）；
（2）平方关系：
sin2Acos2A1
（3）倒数关系：
tanAtan（90°
—A）=1
（4）商（弦切）关系：
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°
~90°
之间变化时，
sin
cos
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有
未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：
2b2c2
a（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
正弦sin，余弦cos，正切tan
（4）面积公式：
（hc为c
边上的高）
考点五、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：
（1）仰角：
视线在水平线上方的角；
俯角：
视线在水平线下方的角。
视线铅垂线
仰角
俯角
水平线
h
ih:
l
α
视线
l
（2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）。
用字母i表示，即
i
。
坡度一般写成1:
m的形式，如
i1:
5等。
把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么itan
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别
是：
45°
、135°
、225°
。
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）
1、解直角三角形的类型与解法
已知、解法
三角已知条件解法步骤
类型
Rt△ABC
两直角边（如a，b）
由tanA＝，求∠A；
∠B＝90°
－A，c＝
2b
两
斜边，一直角边（如c，a）
由SinA＝，求∠A；
－A，b＝
c2-a2
2-a2
边
AbC
一
一角边
锐角，邻边
（如∠A，b）
－A，a＝b·
SinA，c＝cosA
cosA
角
和
一锐角
锐角，对边
（如∠A，a）
tanA
，c＝
sinA
斜边，锐角（如c，∠A）∠B＝90°
－A，a＝c·
SinA，b＝c·
cosA
2、测量物体的高度的常见模型
1）利用水平距离测量物体高度
数学模型所用应测数据数量关系根据
工具原理
tanα＝，tanβ＝
xx
ι
x1x2
β
侧倾α、β、
＝a·
tanα·
tanβ
tanα＋tanβ
直角
三角
器
皮尺
水平距离a
tanα＝tanβ＝
axx
形的
边角
关系
αβ
ax
tanβ－tanα
2）测量底部可以到达的物体的高度
＝
，h＝
aa
13
镜子
目高a1
水平距离a2
反射
定律
aa3
水平距离a3
aa2
标杆
标杆高a1
标杆影长a2
物体影长a3
h＝
同一时刻物高与影
长成正比
αh
侧倾器高a1
tanα＝
矩形的性质和直角
三角形的边角关系
倾斜角α
h＝a1＋a2tanα
侧倾
仰角α
俯角β
tanβ＝
h＝h1＋h2＝a1（tanα＋tanβ）
水平距离a1
3）测量底部不可到达的物体的高度
（1）
工具理论
h1
x
，tanβ＝
β俯角β
4
高度a
tanα
h＝a＋h1＝a＋a＝a（1＋
tanβ
）
矩形的性质和直
角三角形的边角
a－h
关系
俯角α
∴x＝
atanα
∴h＝a－
高度
测量底部不可到达的物体的高度
（2）
数字模型所用应测距离数量关系根据
1tanβ＝
仰角α，
仰角β
水平距离a1
侧倾器高a2
1
tan
∴＝h1
h＝a2＋h1＝a2＋
hh－a
tanβ＝
h＝
tanα－tanβ
矩形的性质
和直角三角
tanβ＝、h＝
形的边角关
系
ha＋h
tanα＝,tanβ＝
tabβ－tanα
5
第三部分真题分类汇编详解2007-2012
（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°
方向有一座小岛C，继续向东航
行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°
方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛
C最近？
（参考数据：
sin21.3°
≈
9
25
，tan21.3°
，sin63.5°
10
，tan63.5°
≈2）
北
C
东
AB
（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如
图所示，其中，AB表示窗户，且AB2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的
最小夹角为18.6，最大夹角为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？
（结
果保留两个有效数字）
sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）
CD
Ｃ
Ｄ
F
GE
BD
第19题图
6
（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处
安置测倾器，测得塔顶C的仰角CFE21°
，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角CGE37°
，
已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．
sin37
°
≈3，tan37°
≈3，sin21°
≈9，tan213
°
≈）°
54258
（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间
的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°
，大厦底部B的俯角为48°
．求小明家所在居民楼与
大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
解：
o3o3o7o11
sin37，tan37，sin48，tan48）
541010
37°
D
48°
C
第19题图
（2011）19．（6分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由
原来的40o减至35o．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地
35o40o
面CD有多长？
CBD
（结果精确到0.1m．参考数据：
sin40o≈0.64，cos40o≈0.77，sin35o≈0.57，tan35o≈0.70）
（2012）20.（8分）
7
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分6分）
解：
过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝
CD
BD
，∴CD＝x·
tan63.5°
．
CDABD
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝（60＋x）海里，tan∠A＝
AD
∴CD＝（60＋x）t·
an21.3°
．∴x·
＝（60＋x）·
tan21.3°
，即
2x60x．解得，x＝15．
答：
轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6′
（2008）19．（本小题满分6分）
设CD为x，在Rt△BCD中，BDC18.6，
∵
BC
tan，∴BCCDtanBDC0.34x．·
·
2′
BDC
在Rt△ACD中，ADC64.5，∵
AC
tanADC，∴ACCDtanADC2.1x．
∵ABACBC，∴22.1x0.34x．x≈1.14．
CD长约为1.14米．
（2009）19．（本小题满分6分）
由题意知CD⊥AD，EF∥AD，
∴CEF90°
，设CEx，
在Rt△CEF中，tanCFECE
EF
CE
在Rt△CEG中，tan
CGE
GE
CEx8
EFx
；
，则
tanCFEtan21°
3
CEx4
GEx
tanCGEtan37°
D
∵EFFGEG，∴
84
x50x．x37.5，∴CDCEED37.51.539（米）．
33
古塔的高度约是39米．·
·
6分
（2010）19．（本小题满分6分）
8
设CD=x．在Rt△ACD中，tan37
则3
，∴
ADx.
在Rt△BCD中，tan48°
=BD
11
则
∴11
BDx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∵AD＋BD=AB，∴31180
xx．
410
解得：
x≈43．
小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2011）19．（本小题满分6分）
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