初三相似知识点及典型习题Word下载.docx

初三相似知识点及典型习题Word下载.docx

《初三相似知识点及典型习题Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三相似知识点及典型习题Word下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3.推论的逆定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.（即利用比例式证平行线）

4.定理:

平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

5.平行线等分线段定理：

三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

例一，如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：

____________

例二，（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（　　）

重要结论：

梯形，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。

例二，已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F

求证：

OE=OF

（三）相似三角形

相似三角形的判定：

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

相似三角形的性质：

1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例一，（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：

S△ABF=4：

25，则DE：

EC=（　　）

A．

2：

5

B．

3

C．

3：

D．

2

例

G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。

射影定理（要记住）

例一，如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，

AG2=AF·

FC

常用到的性质：

※等腰三角形的“三线合一”：

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

例一，（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=

，则△EFC的周长为（　　）

11

10

9

8

例二，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例三，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·

AD=16，AB

，

（1）求证：

CE=EF

（2）求EG的长

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

直角三角形，其中一个锐角等于30º

，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

※有一个角等于60º

的等腰三角形是等边三角形。

※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：

（注意区分斜边与直角边）

②在直角三角形中，如有一个内角等于30º

，那么它所对的直角边等于斜边的一半

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）

※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

（注意着重号的意义）

<

直线与射线有垂线，但无垂直平分线>

※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：

到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

（如图1所示，AO=BO=CO）

※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：

在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

※平行四边的定义：

两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

※平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例一，（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：

FC=（　　）

1：

4

例二，（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：

BE=4：

3，且BF=2，则DF=　　..

40、（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：

△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6

，AF=4

，求AE的长．

※平行线之间的距离：

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：

具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

例一，（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．

△APB≌△APD；

（2）已知DF：

FA=1：

2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x=6时，求线段FG的长．

※矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：

具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：

有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例一，（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°

，E为AB的中点，

AC2=AB•AD；

（2）求证：

CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求

的值．

64、（2013•娄底压轴题）如图，在△ABC中，∠B=45°

，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？

并求出最大面积；

正方形的定义：

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：

有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

例一，（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）：

※梯形定义：

一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：

等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

例一，（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：

S四边形BCED的值为（　　）

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半