拓展课 平抛运动规律的综合应用文档格式.docx
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C.tanφ＝tanθD.tanφ＝2tanθ
解析 法一 由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tanφ＝2tanθ，选项D正确。
法二 设小球飞行时间为t，则tanφ＝
，tanθ＝
，故tanφ＝2tanθ，选项D正确。
答案 D
拓展点二 与平抛运动相关的临界问题
临界问题的分析方法
1.将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法。
2.分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件。
3.确定临界状态，并画出轨迹示意图。
4.注意适当运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。
[例2]（多选）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网v的方向为水平方向，球做平抛运动
的方向击出，球刚好 暗示水平位移为L，竖直位移为H
落在底线上。
已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列叙述正确的是（ ）
A.球的速度v等于L
B.球从击出至落地所用时间为
C.球从击球点至落地点的位移等于L
D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析 竖直方向H＝
gt2，得t＝
，B正确；
水平方向L＝vt，得v＝L
，A正确；
球从击球点至落地点的位移为
，C错误；
由以上分析知，从击球点到落地点的位移与球的质量无关，D错误。
答案 AB
[针对训练2]（多选）如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，水平地跳跃并离开屋顶，然后落在下一栋建筑物的屋顶上。
如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是（g取10m/s2）（ ）
A.他安全跳过去是可能的
B.他安全跳过去是不可能的
C.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应大于6.2m/s
D.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5m/s
解析 由h＝
gt2，x＝v0t，将h＝5m，x＝6.2m代入解得安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2m/s，B、C正确，A、D错误。
答案 BC
拓展点三 与斜面有关的平抛运动
1.平抛运动的解题技巧
（1）解决落点位置问题一般要建立水平位移和竖直位移之间的关系。
（2）解决落点速度方向即末速度的方向问题，一般要建立水平速度和竖直速度之间的关系。
（3）注意挖掘和利用合运动、分运动及题设情境之间的几何关系。
2.平抛运动解题三类突破口
（1）若水平位移、水平速度已知，可应用x＝v0t列式，作为求解问题的突破口。
（2）若竖直高度或竖直分速度已知，可应用y＝
gt2或vy＝gt列式，作为求解问题的突破口。
（3）若物体的末速度的方向或位移的方向已知，可应用tanθ＝
（θ是物体速度与水平方向的夹角）或tanα＝
（α是物体位移与水平方向的夹角）列式，作为求解问题的突破口。
[例3]（从斜面外抛出的平抛运动——落点速度与斜面垂直）如图所示，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°
的斜面上， 此时速度方向垂直于斜面
物体完成这段飞行需要的时间是（ ）
A.
sB.
s
C.
sD.0.2s
解析 分解物体的末速度，如图所示。
由于物体水平方向是匀速运动，竖直方向是自由落体运动，末速度v的水平分速度仍为v0，竖直分速度为vy，则vy＝gt
由图可知
＝tan30°
，所以t＝
s。
答案 C
[例4]（从斜面外抛出的平抛运动——落点速度与斜面平行）（多选）如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时速度恰好沿着斜面方向，然后在斜面PQ上无摩擦滑下， 隐含：
Ff＝0
下图为物体沿x方向和y方向运动的位移—时间图像及速度—时间图像，其中可能正确的是（ ）
解析 设斜面与水平面的夹角为θ，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时速度恰好沿着斜面方向，紧贴斜面PQ无摩擦滑下，抵达斜面之前
x1＝v0t1，y1＝
gt
，vx1＝v0，vy1＝gt1
抵达斜面后沿斜面无摩擦下滑，对于从0到Q全程有
x2＝x1＋v0t2＋
gsinθcosθt
y2＝y1＋vy1t2＋
gsin2θt
vx2＝v0＋gsinθcosθt2
vy2＝gt1＋gsin2θt2
故选项B、C错误，A、D正确。
答案 AD
[例5]（在斜面上抛出的平抛运动）如图所示，在某次自由式滑雪比赛中，一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后， 运动员做平抛运动
又落回到斜面雪坡上，若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则（ ）
A.如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同
B.不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的
C.运动员落到雪坡时的速度大小是
D.运动员在空中经历的时间是
解析 如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的位置不同，但位移方向均沿斜坡，即位移方向与水平方向的夹角均为θ，由tanφ＝2tanθ得速度方向与水平方向的夹角均为φ，选项A错误，B正确；
将运动员落到雪坡时的速度沿水平和竖直方向分解，求出运动员落到雪坡时的速度大小为
，选项C错误；
由几何关系得tanθ＝
，解得运动员在空中经历的时间t＝
。
D错误。
[针对训练3]如图所示，两个倾角为60°
的斜面体，底端接触并放在同一水平面上，斜面体的高度均为h。
现在左侧斜面顶端以一定的初速度水平抛出一个小球，结果小球恰好垂直地打在右侧的斜面上，重力加速度为g，则小球的初速度为（ ）
A.2
B.
D.
解析 设小球飞行的时间为t，因为小球垂直撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，斜面与水平面之间的夹角为60°
，所以有vytan60°
＝v0，又vy＝gt
水平位移为x＝v0t
根据几何关系可得
h＝
gt2＋（v0t－hcot60°
）tan60°
联立解得v0＝2
，选项A正确。
答案 A
拓展点四 类平抛运动
1.类平抛运动的特点
（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。
对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。
（2）受力特点：
物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（3）运动特点：
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出（v0的方向与CD平行），小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别在于：
（1）运动平面不同：
类平抛运动→任意平面；
平抛运动→竖直面。
（2）初速度方向不同：
类平抛运动→任意方向；
平抛运动→水平方向。
（3）加速度不同：
类平抛运动→a＝
，与初速度方向垂直；
平抛运动→重力加速度g，竖直向下。
[针对训练4]如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v抛出，A在竖直面内运动，落地点在P1；
B在光滑的斜面上运动，落地点在P2，不计空气阻力，比较两质点的运动时间、沿x轴方向的位移是否相同。
解析 A质点做平抛运动，由平抛运动规律知，x1＝vt1，h＝
，而B质点在斜面上做类平抛运动，其运动可分解为沿x轴方向的匀速直线运动和沿斜面向下的匀加速直线运动，设斜面与水平面的夹角为θ，
gsinθ·
t
，x2＝vt2，可得t1≠t2，x1≠x2，所以两者均不相同。
答案 两质点的运动时间、沿x轴方向的位移均不相同
1.如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。
从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。
若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ）
A.b与c之间某一点B.c点
C.c与d之间某一点D.d点
解析 当水平速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上的e点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点（如图）。
2.（多选）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（ ）
A.两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B.两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C.两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶
D.两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2
解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动h＝
gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶
，选项A正确，B错误；
水平方向为匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即v01t1∶v02t2＝1∶2，所以两次平抛初速度之比v01∶v02＝1∶
，选项C正确，D错误。
答案 AC
3.（2018·
全国卷Ⅲ，17）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和
的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。
甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（ ）
A.2倍B.4倍
C.6倍D.8倍
解析 甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。
4.如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，不计空气阻力，斜面的倾角为30°
，则关于h和初速度v0的关系，下列图像正确的是（ ）
解析 将小球刚要打到斜面上的速度沿竖直和水平方向进行分解，则有tan30°
，vy＝gt，x＝v0t，y＝
gt2，
由几何关系得tan30°
，解得h＝
，因此选项A、B错误；
h－v0图像应是开口向上的抛物线，选项C错误，D正确。
5.雪灾救援中，一架在500m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的运输机，要将两批救援物资分别投放到山腰的D点（D位于AC的中点）和山脚的C点。
已知山AB高360m，水平距离BC长1200m。
若不计空气阻力，g取10m/s2，则两次空投的时间间隔应为（ ）
A.1sB.2s
C.3sD.5s
解析 第一批救援物资下落高度
h1＝H－
AB＝
m＝320m
第一批救援物资运动时间t1＝
s＝8s
第二批救援物资运动时间t2＝
s＝10s
设两次空投的时间间隔为Δt，则xDC＋vt1＝v（t2＋Δt）
由题可知xDC＝600m，解得Δt＝1s，选项A正确。
基础过关
1.以某一水平初速度v0抛出一物体，飞行时间t＝2s后，撞在倾角θ＝30°
的斜面上，此时物体的速度方向刚好与斜面成α＝60°
的夹角，如图所示。
则此物体的水平初速度v0等于（不计空气阻力，取g＝10m/s2）（ ）
A.10m/sB.20m/s
C.20
m/sD.30
m/s
解析 物体做平抛运动，物体撞在斜面上时竖直方向上的分速度的大小为vy＝gt＝20m/s
此时速度与水平方向的夹角为β＝α－θ＝60°
－30°
＝30°
则初速度为v0＝
＝20
m/s，选项C正确。
2.如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。
设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是（ ）
A.t甲＝t乙B.t甲<
t乙
C.v甲＞v乙D.v甲＜v乙
解析 根据平抛运动规律可知，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，选项A、B错误；
水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，选项D正确，C错误。
3.如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出。
球1从左侧斜面抛出，经过t1时间落回斜面上。
球2从某处抛出，经过t2时间恰能垂直撞在右侧的斜面上。
已知左、右侧斜面的倾角分别为α＝30°
、β＝60°
，不计空气阻力，则（ ）
A.t1∶t2＝1∶1B.t1∶t2＝2∶1
C.t1∶t2＝
∶1D.t1∶t2＝1∶
解析 对球1：
tanα＝
，对球2：
，联立解得t1∶t2＝2∶1，故选项B正确。
4.（多选）如图所示，在水平地面上的A点以跟地面成θ角的速度v1射出一弹丸，弹丸恰好以速度v2垂直穿入竖直墙壁上的小孔B，下面说法正确的是（ ）
A.在B点以跟v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B.在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C.在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上A点的左侧
D.在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上A点的右侧
解析 在B点以跟v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，是“在水平地面上的A点以跟地面成θ角的速度v1射出一弹丸，弹丸恰好以速度v2垂直穿入竖直墙壁上的小孔B”的逆过程，选项A正确；
在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上A点的左侧，选项C正确，B、D错误。
5.（多选）如图，在半径为R圆环圆心O正上方的P点，将一小球以速度v0水平抛出后恰能从圆环上Q点沿切线飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力。
则（ ）
A.从P点运动到Q点的时间为t＝
B.从P点运动到Q点的时间为t＝
C.小球运动到Q点时的速度为vQ＝
D.小球运动到Q点时的速度为vQ＝
解析 过Q点作OP的垂线，根据几何关系可知，小球在水平方向上的位移大小为Rsinθ，
根据Rsinθ＝v0t，
可得时间为t＝
，故选项A正确，B错误；
根据几何关系知，Q点的速度方向与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则知，小球运动到Q点时的速度为vQ＝
，故选项C错误，D正确。
能力提升
6.如图所示，水平地面上有一高h＝4.2m的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离x＝3.6m、离地面高H＝5.0m，不计空气阻力，不计墙的厚度。
重力加速度g取10m/s2。
（1）求小球碰墙点离地面的高度h1；
（2）若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？
解析
（1）小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有
水平方向上x＝v0t①
竖直方向上H－h1＝
gt2②
由①②式并代入数据可得h1＝3.2m。
（2）设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有
水平方向x＝v1t1③
竖直方向H－h＝
gt2④
由③④式并代入数据可得v1＝9.0m/s，所以小球越过墙要满足初速度v≥9.0m/s。
答案
（1）3.2m
（2）初速度v≥9.0m/s
7.小亮在河岸做抛石子游戏。
如图所示为河的横截面示意图，小亮自O点以垂直岸边的水平速度向对岸抛石子。
已知O点离水面AB的高度为h，O、A两点间的水平距离为x1，水面AB的宽度为x2，河岸倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间t；
（2）为使石子直接落到水面上，求抛出的速度v0的大小范围。
解析
（1）根据h＝
gt2得，石子在空中飞行时间
t＝
（2）要使小球落到水面上，则水平位移的范围为x1≤v0t≤x1＋x2，
解得x1
≤v0≤（x1＋x2）
答案
（1）
（2）x1
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