函数极值的求法毕业论文.doc
《函数极值的求法毕业论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数极值的求法毕业论文.doc（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
拟建中的阜阳市中国XXXX国际服装城依托中国XX国际服装城，拟建成为皖西北地区规格最高、规模最大、商务及功能最优的现代化、国际化服装专业市场，建设规模占地约128亩，建筑面积约25万平方米，项目总投资约5亿元人民币。
经过1--2年的开发建设，能达到正常运营期的中国XX.XX国际服装城将吸纳全国和世界各地的经销商、代理商企业物流总部等500—1000家，预计年交易额实现68亿元人民币，每年实现税收8000—10000万元人民币，每年实现利润1.68亿元人民币，实现就业和创业人员约2万以上。
毕业论文
题目:
函数极值的求法
系别:
数学系
专业:
数学教育
班级:
10级
（2）班
学号:
姓名:
指导老师:
2013年4月4日
经济增长：
在优化结构、提高效益和降低消耗的基础上，“十一五”期市GDP年均增长12%以上（现14%以上），2010年达到650亿元以上，人均GDP力争1000美元；财政收入达到80亿元；规模以上工业销售达到550亿以上；全社会固定资产投资年均长20%，五年累计1000亿元；社会消费品销售额260亿元，年均增长20%，外贸进口总额2.5亿美元，年均增长15%；五年累计招商引资突破500亿元，力争达到600亿元
目录
1.一元函数极值的求法 1
1.1费马定理 1
1.2稳定点 2
1.3极值的第一充分条件 2
1.4极值的第二充分条件 2
1.5极值的第三充分条件 2
1.6求一元函数极值的步骤 3
2.二元函数极值的求法 4
2.1极值必要条件 4
2.2极值充分条件 4
2.3求二元函数极值的基本方法 4
3.多元函数极值的求法 8
3.1普通极值问题 9
3.2条件极值问题 11
3.3求条件极值的步骤 13
参考文献 15
致谢 16
函数极值的求法
摘要：
这篇论文主要讨论了函数的极值问题，包括一元函数极值，二元函数极值，多元函数极值，以及条件极值拉格朗日方法等.本文以定理的形式给出了一元函数、二元函数，以及多元函数的求解方法.同时也给出了求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法.
关键词：
极值、极值点、稳定点、拉格朗日
Abstract:
thispaperdiscussestheissueofextremevalueoffunction,includingtheextremevalueofafunction,binaryfunction'sextremism,extremevalueoffunctionofmanyvariablesandLagrangianmethodsforconditionalextremism.Thisformofthetheoremgivesaunaryfunctionbinaryfunctionandmethodforsolvingmultivariatefunction.ItisalsoseekingconditionalextremevalueoffunctionofmanyvariablesaregivenLagrangemultipliermethod.
Tags:
extreme,extremepoints,astablepoint,Lagrange
引言：
在生产实践、科学实验和社会生活中，经常遇到待解决“最好”、“最大”、“最省”、“最小”等问题，这类问题可归结为数学中的最大值和最小值，函数的极值和最值有一定的联系，可以为求函数的最值作一定的参考.函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数形态的一个重要特征，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用.对函数极值问题求解方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题.本文就函数极值的问题进行了一些探讨，总结了一些求函数极值的方法，包括一元函数、二元函数、多元函数的极值求解方法，深化了课本中的一些定理和概念，为更好的解决现实中的最优问题提供了一些参考.
1.一元函数极值的求法
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢？
定义：
设函数，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。
如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.
1.1费马定理
设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有
1.2稳定点
我们称满足方程的点为稳定点.对于函数，点是稳定点，但却不是极值点.
1.3极值的第一充分条件
设在点连续，在某邻域内可导.
若当时，当时，则在点取得极小值；
若当时，当时，则在点取得极大值.
1.4极值的第二充分条件
设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，
若，则在取得极大值；.
若，则在取得极小值.
1.5极值的第三充分条件
设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，，则
当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值；.
当为奇数时，在处不取极值.
1.6求一元函数极值的步骤
1.求函数的导数；
2.令，解出稳定点；
3.判断两侧的符号，找出局部极值点；
4.根据极值的第二充分条件进行判断；
5.根据极值的第三充分条件进行判断.
例1求的极值点和极值
解在上连续，且当时有
易见，为的稳定点，为的不可导点.这两点是否是极值点，需作进一步的讨论.
不存在
递增
递减
递增
由上表可以看出：
点为的极大值点，极大值；为的极小值点，极小值.
例2求函数的极值
解由
得
得稳定点为或
又
于是
故是的极大值点，极大值，是的极小值点，极小值
.
例3试求函数的极值
解由于
得
则，故不是的极值点；，故是的极小值点；，故是的极大值点.
所以极小值，极大值.
2.二元函数极值的求法
以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数
极值的问题我们又该怎样解决呢？
定义：
设函数在点的某邻域内有定义.若对于任何点，成立不等式
（或）
则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值
点.极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.
2.1极值必要条件
若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有
，
反之，若函数在点满足上式，则称点为的稳定点.
需要说明的是与一元函数的情形相同，函数的偏导数不存在的点上也有可能取得极值,如函数在原点无偏导数,但在原点取得极小值.
2.2极值充分条件
设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令,令,,,则在处是否取得极值的条件如下:
（1），时,在取极大值；
（2），时,在取极小值；
（3）时,在不取极值.
（4）时,不能肯定在是否取得极值.
证明记
将按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有
（1.2）
令
，
，
，
由二阶偏导数的连续性,有，时，、、均趋于0.
令,,其中,于是有
（1.3）
（1）时
这时,故，（1.3）式括号中前三项可表示为
（1.4）
显然（1.4）式恒不为零,且与A同号.其绝对值为内的的连续函数，有最小值.
另一方面,时,由于、、均趋于0，则对一切都有
，（1.5）
只要充分小.
因此：
时,,函数取极小值；时,,函数取极小值.
（2）时
（I）若，仍可利用（1.4）的变换.时,[…]内表达式变为,故为正.反之，若由条件（）确定，则[…]内将变成，故为负.
充分小时，（1.3）式括号中后三项，不论在或时都可成为任意小，故的符号即由前三项的符号决定.这样，在被考察的点的任意近处，在由角度及确定的射线上，有异号的值.因此，在这点，函数不可能有极值.
（ii）若，（1.3）式括号中前三项就变成
此时必有,故可这样来确定使，于是，当及时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面一样完成.
所以，时，在取极值，有极大值，有极小值；时，在取不到极值，定理证毕.
2.3求二元函数极值的基本方法
（1）利用函数极值的定义求极值
（2）利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求的极值的一般步骤为:
①解方程组，，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
②对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；
③确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；
④考察函数是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。
例1
解解方程组
得稳定点，由于，，，
，
故极值不存在.
例2.
解解方程组
解得稳定点及.在处
，,.
于是
故在取得极大值.
同法可得函数在点取得极小值.
例3造一个容积为的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？
解设盒子的长为，宽为，则高为．故长方体盒子的表面积为
．
这是关于的二元函数，定义域为．
由，，得驻点．根据问题的实际意义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是取得最小值的点．即当时，函数取得最小值，也即当盒子的长、宽、高相等时，所用材料最少．
3.多元函数极值的求法
以上我们分别解决了一元函数极值问题和二元函数极值的问题，进而推广，面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢？
3.1普通极值问题
设是集合上的函数，如果对，存在
在中的邻域，使得，恒有
则称为在上的局部极大值（极小值），称为的局部极大值（极小值）点，如果是开集，则称为普通极值点，否则称为条件极值点.
定理1如果是的普通极值点，且在存在偏导数，则
证明是内点，因而是一元函数的极值点，因此
定义：
设在区域上处处存在偏导数，如果在点成立，则称为的判别点.
如果为的极值点，则其实的判别点，但
反之并
升级会员 