高中数学必修一集合经典题型总结高分必备.docx

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高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义

必修一第一章复习

知识点一　集合的概念

1．集合

一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合（或集），通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．

2．元素

构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．

3．空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.

知识点二　集合与元素的关系

1．属于

如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.

2．不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.

知识点三　集合的特性及分类

1．集合元素的特性

________、________、________.

2．集合的分类

（1）有限集：

含有________元素的集合．

（2）无限集：

含有________元素的集合．

3．常用数集及符号表示

名称

非负整数集（自然数集）

整数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

知识点四　集合的表示方法

1．列举法

把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法

用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．

知识点五　集合与集合的关系

1．子集与真子集

定义

符号语言

图形语言

（Venn图）

子集

如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

________（或________）

真子集

如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集

________（或________）

2.子集的性质

（1）规定：

空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．

（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即________．

（3）如果A⊆B，B⊆C，则________．

（4）如果AB，BC，则________．

3．集合相等

定义

符号语言

图形图言

（Venn图）

集合相等

如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等

A＝B

4.集合相等的性质

如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.

知识点六　集合的运算

1．交集

自然语言

符号语言

图形语言

由___________________

_____________________

组成的集合，称为A与B的交集

A∩B＝_________

2．并集

自然语言

符号语言

图形语言

由_________________

_________________组成的集合，称为A与B的并集

A∪B＝_______________

3.交集与并集的性质

交集的运算性质

并集的运算性质

A∩B＝________

A∪B＝________

A∩A＝________

A∪A＝________

A∩∅＝________

A∪∅＝________

A⊆B⇔A∩B＝________

A⊆B⇔A∪B＝________

4.全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．

5．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________

符号语言

∁UA＝________________

图形语言

典例精讲

题型一判断能否构成集合

1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是。

题型二验证元素是否是集合的元素

1、已知集合.

求证：

（1）3A；

（2）偶数4k-2（kZ）不属于A.

2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.

题型三求集合

1．方程组的解集是（　　）

A.B．{x，y|x＝3且y＝－7}

C．{3，－7}D．{（x，y）|x＝3且y＝－7}

2．下列六种表示法：

①{x＝－1，y＝2}；②{（x，y）|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④（－1,2）；⑤{（－1,2）}；

⑥{（x，y）|x＝－1或y＝2}．

能表示方程组的解集的是（　　）

A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤

C．②⑤D．②⑤⑥

3.数集A满足条件：

若a∈A，则∈A（a≠1）．若∈A，求集合中的其他元素.

4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为。

题型四利用集合中元素的性质求参数

1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.

4.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.

（1）若A是单元素集合，求集合A；

（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0或2或3

6．（2016·浙江镇海检测）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.

题型五判断集合间的关系

1、设,，则M与N的关系正确的是（）

A.M=NB.

C.D.以上都不对

2．判断下列集合间的关系：

（1）A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；

（2）A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．

3．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.

题型六求子集个数

1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．

题型七利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

3．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；

（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

题型八集合间的基本运算

1．下面四个结论：

①若a∈（A∪B），则a∈A；②若a∈（A∩B），则a∈（A∪B）；③若a∈A，且a∈B，则a∈（A∩B）；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝（　　）

A．{x|x>－3}B．{x|－3

C．{x|3

3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

4．（2016·全国卷Ⅲ理，1）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（　　）

A．[2,3]B．（－∞，2]∪[3，＋∞）

C．[3，＋∞）D．（0,2]∪[3，＋∞）

5．下列关系式中，正确的个数为（　　）

①（M∩N）⊆N；②（M∩N）⊆（M∪N）；

③（M∪N）⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.

A．4B．3

C．2D．1

6．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

7．（2016·唐山一中月考试题）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

8．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，（∁US）∩T＝{4}，（∁US）∩（∁UT）＝{1,5}则有（　　）

A．3∈S,3∈TB．3∈S,3∈∁UT

C．3∈∁US,3∈TD．3∈∁US,3∈∁UT

题型九根据集合运算的结果求参数

1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.

（1）求A∩B；

（2）若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

3．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋2）x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.

4．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足（∁UA）∩B＝{2}，A∩（∁UB）＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.

5．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________.

4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩（∁UA）≠∅，则（　　）

A．k＜0B．k＜2

C．0＜k＜2D．－1＜k＜2

6．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，（A∩B）∅与A∩C＝∅同时成立.

题型十交集、并集、补集思想的应用

1．若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．

题型十一集合中的新定义问题

1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.

（1）判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；

（2）试写出一个含3个元素的可倒数集．

2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（　　）

A．7B．12

C．32D．64

3．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝（　　）

A．{0,1,3,4}B．{1,4}

C．{1,3}D．{0,3}

4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U（X∩Y），对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y）*Z＝（　　）

A．（X∪Y）∩∁UZB．（X∩Y）∪∁UZ

C．（∁UX∪∁UY）∩Z