4、函数的图象
作函数的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作的简图,主要是通过变量代换,设,由z取0,,,,来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
(2)由函数的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
法二:
先伸缩后平移
可以看出,前者平移个单位,后者平移个单位。
原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的。
因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则必然会出现错误。
当函数(A>0,,)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数,它叫做振动的频率;叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。
例1.用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。
分析1:
解法1:
分析2:
解法2:
点评:
在解法1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换方法中的平移是不同的(即和),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的。
练习:
∴应选D
x轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与x轴交点中最
的图象.∴选D
例2.用五点法作出函数的图象,并指出函数的单调区间。
分析:
按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。
解析:
(1)列表
列表时取值为0、、、、,再求出相应的x值和y值。
(2)描点
(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:
利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到,的简图(图略)。
可见在一个周期内,函数在[,]上递减,又因函数的周期为,所以函数的递减区间为。
同理,增区间为。
点评:
五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的取0、、、、,然后求出相应的x,y值。
例3.如图是函数的图象,确定A、、的值。
解析:
显然A=2
解法1:
由图知当时,y=0
故有,
所求函数解析式为
解法2:
由图象可知将的图象向左移
即得,即
点评:
求函数的解析式难点在于确定初相,一般可利用图象变换
例:
4.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
解析:
y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例5:
函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15,试依图指出
(1)f(x)的最小正周期;
(2)使f(x)=0的x的取值集合;
(3)使f(x)<0的x的取值集合;
(4)f(x)的单调递增区间和递减区间;
(5)求使f(x)取最小值的x的集合;
(6)图象的对称轴方程;
(7)图象的对称中心.
解析:
这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的体现,它根据f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出.
注:
得出函数f(x)的最小正周期之后,研究f(x)的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中研究,再延伸到整个定义域中.
注:
实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0,而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1
注:
f(x)的图象的对称中心为(x0,0),其中x0使f(x0)=0
【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题,其中有两点要注意反思:
①周期性在研究中的化简作用,②三角函数的“多对一”性.
练习:
1.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)如何由函数y=2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象,试写出变换过程.
解
(1)由图象知A=2.
f(x)的最小正周期T=4×=π,故ω==2.
将点代入f(x)的解析式,得sin=1.
又|φ|<,∴φ=.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)方法一 y=2sinx
y=2siny=2sin.
方法二 y=2sinxy=2sin2x
2.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的图象的一部分如图所示
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.
解
(1)由图象知A=2,T=8,
∵T==8,∴ω=.
又图象过点(-1,0),∴2sin=0.
∵|φ|<,∴φ=.∴f(x)=2sin.
(2)y=f(x)+f(x+2)
=2sin+2sin
=2sin=2cosx.
∵x∈,∴-≤x≤-.
∴当x=-,即x=-时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值;
当x=-π,即x=-4时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2.
易错分析 y=f(x)+f(x+2)化简错误,化简公式和方法不熟致误.
y=2sin.
3.(14分)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象,求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.
解
(1)由题图知A=2,T=π,于是ω==2,
将y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,
得y=2sin(2x+φ)的图象.
于是φ=2×=,∴f(x)=2sin.
(2)依题意得g(x)=2sin
=-2cos.
故y=f(x)+g(x)=2sin-2cos
=2sin.
由2sin=,得sin=.
∵0∴2x-=或2x-=,
∴x=π或x=π,
∴所求交点坐标为或.
易错分析 f(x)向右平移个单位得g(x)=2sin,学生易错为
g(x)=2sin,忽略了x的系数2的作用.
一、选择题
1.将函数y=sin(x-)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,得到图象的解析式是( )
A.y=sin(2x+)B.y=sin(x-)
C.y=sin(x-)D.y=sin(2x-)
[答案] C
[解析] 将函数y=sin(x-)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(-)的图象,再将所得函数图象向左平移个单位,得到函数y=sin[(x+)-]=sin(-)的图象,故选C.
2.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+)B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(-)D.y=2sin(2x-)
[答案] A
[解析] 由图象可知,A=2,T=2[-(-)]=π,∴ω=2.∴y=2sin(2x+φ),
又∵2×(-)+φ=,
∴φ=,∴y=2sin(2x+).
3.函数y=sin|x|的图象是( )
[答案] B
[解析] 令f(x)=sin|x|,x∈R,
∴f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),
∴函数f(x)=sin|x|为偶函数,排除A;
又当x=时,y=sin||=sin=1,排除D;
当x=时,y=sin||=sin=-1,排除C,故选B.
4.为了得到函数y=2sin,x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的