四川省成都七中高三零诊模拟数学理试题 Word版含答案.docx

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四川省成都七中高三零诊模拟数学理试题Word版含答案

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.命题“”的否定是（）

A.B.

C.D.

2．设集合，，则（）

A．B.C.D.

3．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（）

A．B.C.D.

4.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）

A．B.C.D.

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

6.对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）

A．B.C.D.

7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S=（）

A.4B.5C.6D.7

8.设满足约束条件，则的最大值为（）

A.10B.8C.3D.2

9．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）

A．4个B.6个C.10个D.14个

10.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）

A.B.

C.D.

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.设向量满足,,则

12.设△的内角的对边分别为，且，

则

13.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=

14.随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为.

15、设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数a和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：

；；

；

其中具有性质的函数

三、解答题：

（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）

16.已知函数．

（Ⅰ）求函数f （x）的定义域及最大值；

（Ⅱ）求使≥0成立的x的取值集合．

17.成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：

第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18.在四棱锥中，平面，,.

19.已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前n项和

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和

20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆

有相同的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？

若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

21.已知函数是奇函数，的定义域为．当时，．这里，e为自然对数的底数．

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）试判断与的大小关系，这里,并加以证明．

成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷（理科）

考试时间：

120分钟

命题:

张祥艳审题：

廖学军

二、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.命题“”的否定是（C）

B.B.C.D.

2．设集合，，则（B）

（A）（B）（C）（D）

3．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（D）

（A）（B）（C）（D）

4.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（A）

（A）（B）

（C）（D）

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D）

A．1B．2C．3D．4

6.对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（A）

（A）（B）

（C）（D）

7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S=（D）

A.4B.5C.6D.7

8.设满足约束条件，则的最大值为（B）

A.10B.8C.3D.2

9．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（C）

（A）4个（B）6个（C）10个（D）14个

10.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（B）

A.B.

C.D.

13.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=

14.随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为.

15、设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数a和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：

；；

；

其中具有性质的函数

三、解答题：

（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）

16.已知函数．

（Ⅰ）求函数f （x）的定义域及最大值；

（Ⅱ）求使≥0成立的x的取值集合．

解：

（Ⅰ）cosx≠0知，k∈Z，

即函数f （x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．………………………3分

又∵

，

∴．……………………………………………………………8分

（II）由题意得≥0，即≤，

解得≤≤，k∈Z，

整理得≤x≤，k∈Z．

结合x≠kπ，k∈Z知满足f（x）≥0的x的取值集合为

{x|≤x≤且，k∈Z}．………………………………………………12分

17.成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：

第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

解：

（1）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.…………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,

每组抽取的人数分别为:

第3组:

×6=3;第4组:

×6=2;第5组:

×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…………6分

（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

（A1,A2）,

（A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,（A3,B1）,（A3,B2）,

（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1）,共有15种.…………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

（A1,B1）,（A1,B2）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A3,B1）,（A3,B2）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1）,共有9种,………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为…………12分

18.在四棱锥中，平面，,.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点,使平面？

说明理由.

证明：

（Ⅰ）在四棱锥中，因为平面，平面,

所以.因为，所以.

因为,所以平面.

因为平面,所以.………4分

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系.不妨设，则.

则.

所以，.

设平面的法向量.

所以.即.

令，则.

所以所以

所以与平面所成角的正弦值为.………8分

所以.因为平面，所以.

因为,所以平面.所以平面.

即在线段上存在点,使平面.

（法二）设在线段上存在点,当时，平面.

设，则.所以.

即.所以.

所以.由（Ⅱ）可知平面的法向量.

若平面，则.即.解得.

所以当，即为中点时，平面.………12分

19.已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前n项和

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和

20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆

有相同的离心率.

（I）求椭圆M的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且？

若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数是奇函数，的定义域为．当时，．这里，e为自然对数的底数．

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）试判断与的大小关系，这里,并加以证明．

解：

x>0时，………2分

（1）当x>0时，有

；

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为…4分

（2）当时，

令，由题意，在上恒成立

令，则，当且仅当时取等号．

所以在上单调递增，．……6分

因此，在上单调递增，．

所以．所求实数的取值范围为…………………8分

（3）（方法一）由

（2），当时，即，即．

从而．………..10分

令，得

，

……

将以上不等式两端分别相加，得

………………………14分

（方法二）时，<

猜想对一切成立。

欲证对一切成立，

只需证明

而，