外接球与内切八大模型老师专用Word格式文档下载.docx
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SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，
SA平面SBC，SASC，
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R）2（23）2（23）2（23）236，即4R?
36，
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4）在四面体SABC中，SA平面ABC‘BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11B.7
5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分
审y百知某几何体的三视图如图所示‘三视图是腰长为
何体外接球的体积为
1040
C・D・
3
6、4、3，那么它的外接球的表面积
1的等腰直角壁角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC2AC2AB22ABBCcos1207
BC7，ABC的外接球直径为
2r
BC
sinBAC
727
33
440s40
5）三条侧棱两两生直‘设三条侧棱长分别a,b,c（a,b,cR），则
为ab12
22222
be8，abc24，a3，b4，c2，（2旳？
a2b2c229，S4R229，
ac6
6）（2R）2a2b2c23，RJ，r3
v4r343333382
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1•题设：
如图5，PA平面ABC解题步骤：
第一步：
将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD»
则PD必过球心O;
第二步：
Oi为ABC的外心，所以06平面ABC，算出小圆Oi的半
径OQr（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
sincc2r），OOi2〔PA;
sinAsinB
三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
2•题设：
如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶
确定球心O的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线；
先算出小圆6的半径AOir，再算出棱锥的高POih（也是圆锥的高）；
方法二：
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
16
A・3B・2C・D-以上都不对
选C，（3R）21R2,323RR21R2,423R0,
3,
S4R2
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：
易知球心O必是
PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r;
在PAC中，可根据正弦定理abc2R，求出R
sinAsinBsinC
2・如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）
OC2OiC2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
3・如图9-3平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心、三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是
圆锥的顶点
解题步骤：
确定球心O的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线；
先算出小圆Oi的半径AOir，再算出棱锥的高POih（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2OiA2O1O2R2（hR）2r2,解出r
4・如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则利用勾股定理
求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2PA2（2r）22RPA2（2r）2;
②R2r2OO12Rr2OO12
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为。
（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上‘则此球的体积为
（1）由正弦定理或找球心都可得2R7，S4R249，
（2）方法一：
找球心的位置，易知r1，h1，hr，故球心在正方形的中心ABCD处»
R1，V
3方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
4
2R2，R1，V~
3）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为（
A-B.C.4D.
彳的圆上，
选D，圆锥A,B,C在以r2R1
4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的
径，且SC2，则此棱锥的体积为（
OOiR2r21（33）2h26.vgh
33436
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
11
算出小圆Oi的半径AOir，OOiAAih（AAih也是圆柱的高）；
22
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上'
9且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
1解：
设正六边形边长为
2
8
a，正六棱柱的高为h‘底面外接圆的矢径为r，则a，
底面积为se3
（1）^33vnsh33h9?
h3，討（i）2[
4288822
R1，球的体积为V
（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于。
23
BC23，2r4，r2，R5，S20
sin120
（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积
过N和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC;
为。
222r2XyZ•8'
222
xyz
，求出
R，例如，正四面体的外接球半径可用jttg
法°
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面j一
上‘若
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面
积是1的球面上，其中底面的三个顶
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在垓球的一个
大圆上，则该正三棱锥的体积是3
A・33B・3C12
43
（1）截面为PCOi，面积是2；
2）高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2，
（1）题解答图
33233，
aa3，S
设底面边长为a，则2R2、
sin60
三棱锥的体积为VSh34
3）在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的表
面积为。
如图12，设补形为长方体‘三个长度为三对面的对角线长‘设长宽高分别为a,b,c，则a?
b29，
题设：
APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O，连接
1
OP,OC，则OAOBOCOPAB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无矢，只要不是平角球半径都为定值。
例7
（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体
ABCD的外接球的体积为（）
125A・B125・
c
125・
D125・
129
6
5
4125
125
（1）PR/A，口，
VP3
，诜c
38
2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为・
（2）BD的中点是球心O，2RBD13，S4R213；
类型八、锥体的内切球问题
1•题设：
如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；
由POE相似于PDH，建立等式：
oepo,解出r
DHPD
•题设：
如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径
先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
求fhbc,POPHr，PF是侧面PCD的高；
由POG相似于PFH，建立等式：
如。
，解出
HFPF
3•题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥?
求其的内切球半径
图15
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
设内切球的半径为r，建立等式：
VpABC
VoABCVoPABVoPACVoPBC
111
『spBCHSABCT
5PABSPACspBC"
PABCsABCrsPABrSPAC
333
解出r3VpABC
S°
ABCSoPABSoPAC
SOPBC
习题：
1•若三棱锥sABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
【A】（2R）2416166R3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2-三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三
棱锥的外接球体积等于—
322
2r2»
（2R）241216，R?
4，R2，外接球体积
【外心法（加中垂线）找球心；
正弦定理求球小圆半径】
3・正三棱锥SABC
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