《数值计算方法》课程教学大纲Word文档下载推荐.docx
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熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配
《数值计算方法》课程理论教学学时分配表
章次
主要内容
学时分配
教学方法或手段
第一章
数值分析与科学计算引论
4
课堂讲授
第二章
插值法
12
第三章
函数逼近与快速傅里叶变换
第四章
数值积分与数值微分
10
第五章
解线性方程组的直接方法
第六章
解线性方程组的迭代法
6
第七章
非线性方程与方程组的数值解
合计
62
《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表
序号
实验项目名称
实验内容
教学要求
学时
分配
实验
类别
类型
每组
人数
1
编制插值算法的Matlab计算程序。
利用插值处理实际问题
掌握插值法的基本思路和步骤，通过计算机解决实际问题。
2
必做
设计性
数据拟合
编制拟合算法的Matlab计算程序。
利用拟合处理实际问题
掌握最小二乘法的基本原理，通过计算机解决实际问题。
3
数值积分与微分
编制求积公式的Matlab计算程序；
利用求积公式处理实际案例
掌握求积公式的基本思路和迭代步骤；
会编写用求积公式的Matlab计算程序。
解线性方程组的消去法
编制Gauss消元法；
列（全）选主元素Gauss消去法的Matlab计算程序；
掌握用直接法求解线性方程组的有关理论和方法；
会编制列主元高斯消去法。
上机综合试验
估计水塔流量；
掌握数学建模基本思路和步骤；
会综合利用科学计算方法求解实际问题。
综合性
四、教学内容和教学要求
第一章数值分析与科学计算引论（4学时）
（一）教学要求
1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；
2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；
3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点
教学重点：
误差理论的基本概念
教学难点：
误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播
（三）教学内容
第一节数值分析的对象、作用与特点
1．数学科学与数值分析
2．计算数学与科学计算
3.计算方法与计算机
4.数值问题与算法
第二节数值计算的误差
1．误差的来源与分类
2．误差与有效数字
3.数值运算的误差估计
第三节误差定性分析与避免误差危害
1．算法的数值稳定
2．病态问题与条件数
3.避免误差危害
第四节数值计算中算法设计的技术
1．多项式求值的秦九韶算法
2．迭代法与开方求值
本章习题要点：
要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%
第二章插值法（12学时）
1.掌握插值多项式存在唯一性条件；
2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；
3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；
4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；
5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
掌握Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式及三次样条插值
构造第一和第二边界条件下的三次样条插值
第一节引言
1．插值问题的提出
2．多项式插值
第二节拉格朗日插值
1．线性插值与抛物线插值
2．拉格朗日插值多项式
3.插值余项与误差估计
第三节均差与牛顿插值多项式
1．插值多项式的逐次生成
2．均差及其性质
3.牛顿插值多项式
4.差分形式的牛顿插值多项式
第四节埃尔米特插值
1．重节点均差与泰勒插值
2．两个典型的埃尔米特插值
第五节分段低次插值
1．高次插值的病态性质
2．分段线性插值
第六节三次样条插值
1．三次样条函数
2．样条插值函数的建立
3.误差界与收敛性
第七节工程案例分析
1．黄河小浪底调水调沙问题
要求学生完成作业15-25题。
其中概念题10%，证明题10%，计算题50%，上机题30%
第三章函数逼近与快速傅里叶变换（12学时）
1.掌握函数逼近的有关概念；
2．了解函数逼近的意义和推导过程；
3．掌握求解最佳平方逼近函数的方法；
4．掌握求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；
5．掌握正交多项式特点及性质,会求连续函数的最佳一致多项式逼近；
6．掌握曲线拟合的最小二乘法。
数值逼近方法，最佳平方逼近，勒让德多项式与契比雪夫多项式
最小二乘原理
第一节函数逼近的基本概念
1．函数逼近与函数空间
2．范数与赋范线性空间
3.内积与内积空间
4.最佳逼近
第二节正交多项式
1．正交函数族与正交多项式
2．勒让德多项式
3.切比雪夫多项式
4.切比雪夫多项式零点插值
5.其它正交多项式
第三节最佳平方逼近
1．最佳平方逼近及其计算
2．用正交函数族作最佳平方逼近
3.切比雪夫级数
第四节曲线拟合的最小二乘法
1．最小二乘法及其计算
2．用正交多项式作最小二乘拟合
第五节工程案例分析
1．材料学中混凝土泌水率的曲线拟合
2.用曲线拟合方法解决轧钢板型问题
要求学生完成作业16-22题。
其中概念题5%，证明题5%，计算题60%，上机题30%
第四章数值积分与数值微分（10学时）
1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义；
2.能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度；
3.理解插值型求积公式的原理和Newton-Cotes公式的构造，并熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度；
4.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，能使用这些公式计算积分近似值并估计误差，能根据精度要求确定积分区间的等分数；
5.掌握两点和三点数值微分公式的用法。
掌握求积公式代数精确度的定义、梯形公式和Simpson公式、复化梯形公式和复化Simpson公式
高斯求积公式
第一节数值积分概论
1．数值积分的基本思想
2．代数精度的概念
3.插值型的求积公式
4.求积公式的余项
5.求积公式的收敛性与稳定性
第二节牛顿-柯特斯公式
1．柯特斯系数与辛普森公式
2．偶阶求积公式的代数精度
3.辛普森公式的余项
第三节复合求积公式
1．复合梯形公式
2．复合辛普森求积公式
第四节高斯求积公式
1．一般理论
2．高斯-勒让德求积公式
3.高斯-切比雪夫求积公式
第五节数值微分
1．中点方法与误差分析
2．插值型的求导公式
第六节工程案例分析
1．吸收塔填料层高度的计算
要求学生完成作业20-25题。
其中概念题5%，证明题5%，计算题50%，上机题40%
第五章解线性方程组的直接方法（12学时）
1．掌握解线性方程组的Gauss消元法、列主元法、LU分解，掌握线性变换的概念及运算，会求给定线性变换在一组基下的矩阵；
2．理解上述方法的构造过程和特点；
3．掌握全主元消元法、平方根法；
4．掌握解特殊线性方程组的追赶法；
5.掌握向量范数、矩阵范数的基本概论与性质，学会用范数来分析方程组的性态及稳定性；
6．掌握直接解法的误差分析及病态方程组概念。
列主元消去法和矩阵的三角分解法
各种算法的原理与基本思想、误差分析
第一节高斯消去法
1．高斯消去法
2．矩阵的三角分解
3.列主元消去法
第二节矩阵的三角分解法
1．直接三角分解法
2．平方根法
3.追赶法
第三节向量和矩阵的范数
1．向量范数
2．矩阵范数
第四节误差分析
1．矩阵的条件数
2．迭代改善法
第五节案例分析
1．小行星轨道方程计算问题
其中概念题15%，证明题5%，计算题50%，上机题30%
第六章解线性方程组的迭代法（6学时）
1．熟练掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式；
2．理解迭代法收敛的充要条件；
3．会用迭代阵的谱半径判断迭代的收敛性；
4．掌握迭代法的渐近收敛速度的定义和计算。
Jacobi迭代法，G－S迭代法
Jacobi迭代法和G－S迭代法的构造和收敛性分析
第一节迭代法的基本概念
1．向量序列与矩阵序列的极限
2．迭代法及其收敛性
第二节Jacobi迭代法和G－S迭代法
1．Jacobi迭代法
2．G－S迭代法
3.Jacobi迭代法和G－S迭代法的收敛性
第三节案例分析
1．回归问题
其中概念题5%，证明题15%，计算题50%，上机题30%
第七章非线性方程与方程组的数值解（6学时）
1.熟练掌握解非线性方程的简单迭代法的构造和收敛性判别方法；
2.掌握迭代法的收敛阶的概念；
3.了解并掌握Newton迭代法及其变形：
至少具有平方收敛速度的Newton迭代法的构造，Newton迭代法的变形（简化Newton法，弦截法）；
4.掌握求非线性方程根的二分
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