高中数学第一章三角函数12任意的三角函数121第2课时三角函数线及其应用学案新人教a版必修76.docx

高中数学第一章三角函数12任意的三角函数121第2课时三角函数线及其应用学案新人教a版必修76.docx

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高中数学第一章三角函数12任意的三角函数121第2课时三角函数线及其应用学案新人教a版必修76

第2课时　三角函数线及其应用[*#%&@]

学习目标：

1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．（重点）2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．（难点）

[自主预习·探新知][%&@~^]

1．有向线段

（1）定义：

带有方向的线段．

（2）表示：

用大写字母表示，如有向线段OM，MP.

2．三角函数线

（1）作图：

①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.[~^&#@]

②过A（1,0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.

（2）图示：

[&~%^*]

图123[~*@%#]

（3）结论：

有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）角α的正弦线的长度等于sinα.（　　）

（2）当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．（　　）

（3）余弦线和正切线的始点都是原点．（　　）

[解析]　

（1）错误．角α的正弦线的长度等于|sinα|.

（2）正确．

（3）错误．正切线的始点是（1,0）．

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×

2．角和角有相同的（　　）

A．正弦线　B．余弦线

C．正切线D．不能确定

C　[角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]

3．如图124，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（　　）

图124[@*~^&]

A．正弦线MP，正切线A′T′

B．正弦线MP，正切线A′T′

C．正弦线MP，正切线AT

D．正弦线MP，正切线AT

C　[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]

[合作探究·攻重难]

作已知角的三角函数线

　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．

（1）－；

（2）；（3）.

[解]　如图．

其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．

[规律方法]　三角函数线的画法

1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.[&^%@~]

2作正切线时，应从A1，0点引x轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T，即可得到正切线AT.[@&*%~]

[跟踪训练]

1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．

[解]　如图：

sin＝MP，[#^%&@]

cos＝OM，

tan＝AT.

利用三角函数线解三角不等式

[探究问题]

1．利用三角函数线如何解答形如sinα≥a，sinα≤a（|a|≤1）的不等式？

提示：

对形如sinα≥a，sinα≤a（|a|≤1）

的不等式：

画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点（0，a）作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sinα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sinα≥a的角α的范围．[%@~^&]

[*&~^#]

图①

2．利用三角函数线如何解答形如cosα≥a，cosα≤a（|a|≤1）的不等式？

提示：

对形如cosα≥a，cosα≤a（|a|≤1）的不等式：

[&#@*%]

画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点（a,0）作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cosα≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cosα≥a的角α的范围．

图②

　利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．

（1）cosα＞－；

（2）tanα≤；（3）|sinα|≤.

[思路探究]　―→―→

[解]　

（1）如图，由余弦线知角α的取值范围是.

（2）如图，由正切线知角α的取值范围是.

[%#*~@]

（3）由|sinα|≤，得－≤sinα≤.

如图，由正弦线知角α的取值范围是.

[规律方法]　利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法

1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.

2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.

3写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.

提醒：

在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.

母题探究：

1.将本例

（1）的不等式改为“cosα＜”，求α的取值范围．

[解]　如图，由余弦线知角α的取值范围是.

2．将本例（3）的不等式改为“－≤sinθ＜”求α的取值范围．[~%@^&]

[解]　由三角函数线可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sinθ＜，故θ的取值集合是∪（k∈Z）.

利用三角函数线比较大小

（1）已知cosα＞cosβ，那么下列结论成立的是（　　）

A．若α、β是第一象限角，则sinα＞sinβ[#*^~%]

B．若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ[%^#&*]

C．若α、β是第三象限角，则sinα＞sinβ

D．若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ[&~#@*]

（2）利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

[思路探究]　

（1）→

（2）→

（1）D　[由图

（1）可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，故A错误；[~#%&@]

图

（1）

由图

（2）可知，cosα＞cosβ时，tanα＜tanβ，故B错误；

图

（2）[^%~&@]

由图（3）可知，cosα＞cosβ时，sinα＜sinβ，C错误；

图（3）

由图（4）可知，cosα＞cosβ时，tanα＞tanβ，D正确．]

图（4）[#~^@%]

（2）如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.[~*%&#]

显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，

∴sin＞sin；

|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；

|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan.

[规律方法]　1利用三角函数线比较大小的步骤：

①角的位置要“对号入座”；

②比较三角函数线的长度；

③确定有向线段的正负.

2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：

①关键：

在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.

②注意点：

比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.

[跟踪训练]

2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）

A．a＜b＜c　　　　　B．a＜c＜b

C．b＜c＜aD．b＜a＜c

D　[由如图的三角函数线知：

MP＜AT，因为＞＝，[%#~^&]

所以MP＞OM，

所以cos＜sin＜tan，

所以b＜a＜c.]

[当堂达标·固双基]

1．如果OM，MP分别是角α＝余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是

（　　）

A．MP＜OM＜0　　　B．MP＜0＜OM

C．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0[@&^%~]

D　[角β＝的余弦线正弦线相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.][*&@~#]

2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α终边在（　　）[@&~^%]

A．y轴上B．x轴上

C．直线y＝x上D．直线y＝－x上

B　[由已知得，角α的终边与单位圆的交点坐标为（－1,0）或（1,0），在x轴上．]

3．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（　　）

A．sin1＞sin1.2＞sin1.5

B．sin1＞sin1.5＞sin1.2

C．sin1.5＞sin1.2＞sin1

D．sin1.2＞sin1＞sin1.5

C　[如图，画出已知三个角的正弦线，观察可知sin1.5＞sin1.2＞sin1.]

4．若a＝sin4，b＝cos4，则a，b的大小关系为________．

a＜b　[因为＜4＜，

画出4弧度角的正弦线和余弦弦（如图），[&^~@#]

观察可知sin4＜cos4，即a＜b.]

5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．

（1）sinα≥；

（2）cosα≤－.[*^%&~]

[解]　

（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内（含边界），角α的取值集合为.

图①　　　　　　　图②[#&^@%]

（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内（含边界），角α的取值集合为.