数学问题整理之排列组合问题Word下载.docx

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mnA=!

（nnm-：

一般地，从n个不同元素中取出m（mn≤个元素并成一组，叫做

从n个不同元素中取出m9．组合数的概念：

从n个不同元素中取出m（mn≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示．

10．组合数公式：

（1（2（1!

mmnn

mmAnnnnmCAm---+==

或!

（!

!

mnmnCmn-=,,（nmNmn≤∈*且1：

mnnmnCC-=．规定：

10=nC；

2：

mnC1+＝mnC+1-mnC

二、解题思路：

解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：

用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：

30个）

同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，如：

从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：

350）

7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.（答案:

36006名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：

240）

.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：

从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：

30）

三、讲解范例：

例1

（1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；

（2）求三个偶数互不相邻的七位数的解（1：

因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：

第一步将１、３、５、７四个数字排好有44P种不同的排法；

第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有33P种不同的“捆绑”方法;

第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五

个“间隙”（包括两端的两个位置中的其中一个位置上,有15P种不同的“插入”根据乘法原理共有153344PPP∙∙＝720720个符合条件的解

（2）：

因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：

第一步将１、３、５、７四个数字排好，有44P种不同的排法；

第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括

两端的两个位置）中的三个位置上，有35P根据乘法原理共有3544PP∙＝14401440个符合条件的七例２将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？

解：

要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：

下面分别计算每一类的方法数：

第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两解法一：

从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为

一个组，有46C解法二：

从六个元素中先取出一个元素作为一个组有16C种选法，再从余下的五

个元素中取出一个元素作为一个组有15C种选法，最后余下的四个元素自然作为

一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产

生了重复计算，应除以22P所以共有2215

16PCC∙＝15第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从

六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有16C种不同的选法，再从余下的

五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有25C种不同的选法，余下的

最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有2516CC∙＝60种不同的分组方第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不

同元素中选取出两个不同元素作为一个组有26C种不同的取法，再从余下的四个

元素中取出两个不同的元素作为一个组有24C种不同的取法，最后余下的两个元33P，因此共有3324

26PCC∙＝15根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：

15＋60＋15＝90

例３一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？

解：

九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位

互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有66P种不同的坐法，再将三个空坐位

“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的

位置上有35C种不同的“插入”3566

CP＝7200种不同的坐

排列组合问题II

一、相临问题——整体捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有

种。

捆绑法:

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地:

个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”

法解决，共有

种排法。

练习：

5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.

解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全

排列,有66P种排法,其中女生内部也有33P种排法,根据乘法原理,共有

3366PP种不同的排法.

二、不相临问题——选空插入法

例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：

种.

插入法:

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有

学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解先排学生共有88P种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可

插,选其中的4个空档,共有47P种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为

4788PP种.

三、复杂问题——总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.（1996年全国高考题正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.

从7个点中取3个点的取法有

种，但其中正六边形的对角线所含的中

心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有

－3＝32个.

我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解43人中任抽5人的方法有543C种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有

540C种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有540543CC种.

四、特殊元素——优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．（1995年上海高考题1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．

先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有

种，而其余学生的排法有

种，所以共有

＝72种不同的排法.

例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.

由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有

种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有

种排法，所以不同的出场安排共

有

＝252种.

五、多元问题——分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）

A．42B．30C．20D．12

增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：

1.不相临：

共有A62种；

2.相临：

共有A22A61种。

故不同插法的种数为：

A62+A22A61=42，故选A。

例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.六、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（200