版高中数学人教B版选修21学案222 椭圆的几何性质一Word格式文档下载.docx

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关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称

顶点坐标

（－，），（，），

（，－），（，）

（，－），（，），

（－，），（，）

范围

≤，≤

长轴、短轴

长轴长为，短轴长为

知识点二椭圆的离心率

思考如何刻画椭圆的扁圆程度？

梳理（）椭圆的焦距与长轴长的比＝称为椭圆的离心率．

（）对于＋＝，越小，对应的椭圆越，反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当＝时，＝，两焦点重合，图形变成圆，方程变为＋＝.（如图）

类型一由椭圆方程研究其简单几何性质

例求椭圆＋＝的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

引申探究

本例中若把椭圆方程改为“＋＝”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用，，之间的关系和定义，求椭圆的基本量．

跟踪训练求椭圆＋＝的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

类型二椭圆几何性质的简单应用

命题角度依据椭圆的几何性质求标准方程

例如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在轴上的一个焦点与短轴两个端点，的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为－，求这个椭圆的方程．

反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出，，所应满足的关系式，进而求出，，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．

跟踪训练根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：

（）长轴长是短轴长的倍，且过点（，－）；

（）焦点在轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为.

命题角度对称性问题

例讨论方程＋＋＝所表示的曲线关于轴，轴，原点的对称性．

反思与感悟研究曲线关于轴，轴，原点的对称性，只需用“－”代替方程中的“”，用“－”代替方程中的“”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性．

跟踪训练曲线－＋＝的对称轴为（）

．轴．轴

．直线＝．无法确定

命题角度最值问题

例椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率＝，已知点（，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．

反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种

（）几何法：

若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；

（）代数法：

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．

跟踪训练已知点，是椭圆＋＝的左，右焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么＋的最小值是（）

．．．．

类型三椭圆离心率的求解

例已知椭圆＋＝（>

）的两个焦点分别为，，斜率为的直线过左焦点且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，且为线段的中点，若≤，求椭圆离心率的取值范围．

反思与感悟求的取值范围有以下几个步骤：

（）切入点：

已知≤，求的取值范围，需建立关于的不等式．（）思考点：

①与有什么关系？

②建立与的等量关系式；

③利用在椭圆上且为的中点，构建关于与的等式；

④如何求的范围？

先用表示，再利用≤，求的取值范围．（）解题流程：

先写出的方程，求出点的坐标，由点在椭圆上，建立与的关系式，再求的范围．

跟踪训练已知点（，）是椭圆＋＝（>

）上的一点，，是椭圆的两个焦点，若△的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为．

．已知椭圆的方程为＋＝（>

），则此椭圆的离心率为（）

．与椭圆＋＝有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程是（）

＋＝．＋＝

＋＝＋＝

．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为，有一个焦点坐标是（，），则此椭圆的标准方程为．

．已知点（，）在椭圆＋＝上，则＋的取值范围是．

.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（，），另一个顶点是（－，），则焦点坐标为．

．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．

．椭圆的定义式：

＋＝（>

），在解题中经常将·

看成一个整体灵活应用．

．利用正弦、余弦定理处理△的有关问题．

．椭圆上的点到一焦点的最大距离为＋，最小距离为－.

提醒：

完成作业第二章

（一）

答案精析

问题导学

知识点一

思考（）范围：

－≤≤，－≤≤；

（）对称性：

椭圆关于轴、轴、原点都对称；

（）特殊点：

顶点（－，），（，），

（，－），（，）．

思考在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为（－，），（，），（－，－），（，－）．

梳理＋＝＋＝（±

，）（，±

知识点二

思考用离心率刻画扁圆程度，越接近于，椭圆越接近于圆，反之，越扁．

梳理（）（）扁

题型探究

例解已知方程化成标准方程为

＋＝，

于是＝，＝，＝＝，

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是＝和＝，

离心率＝＝，又知焦点在轴上，

∴两个焦点坐标分别是（－，）和（，），四个顶点坐标分别是（－，），（，），（，－）和（，）．

解由已知得椭圆标准方程为＋＝，

于是＝，＝，＝＝.

∴长轴长＝，短轴长＝，

离心率＝＝.

焦点坐标为（－，）和（，），

顶点坐标为（±

，），（，±

）．

跟踪训练解椭圆的标准方程为

＋＝，则＝，＝，＝＝，长轴长＝，短轴长＝，

焦点坐标为（，），（，－），

顶点坐标为（，），（，－），（，），（－，）．

例解依题意，设椭圆的方程为

），

由椭圆的对称性知＝，

又⊥，

∴△为等腰直角三角形，

∴＝，

即＝，＝－，

即－＝－，且＝＋，

将上面三式联立，得

解得

∴所求椭圆方程为＋＝.

跟踪训练解（）当焦点在轴上时，设椭圆方程为＋＝（>

依题意有解得

∴椭圆方程为＋＝.

同样地可求出当焦点在轴上时，

椭圆方程为＋＝.

故所求的椭圆方程为＋＝或

＋＝.

（）依题意有

∴＝＝，∴＝＋＝，

∴所求的椭圆方程为＋＝.

例解用“－”代替方程＋＋＝中的“”，得－＋－＝，它改变了原方程，因此方程

＋＋＝所表示的曲线不关于轴对称．

同理，方程＋＋＝所表示的曲线也不关于轴对称．

而用“－”代替原方程中的“”，用“－”代替原方程中的“”，得（－）（－）＋（－）（－）＋（－）（－）＝，即＋＋＝，故方程＋＋＝所表示的曲线关于原点对称．

跟踪训练

例解设所求椭圆方程为＋＝（>

∵＝＝＝，

∴＝.

设椭圆上点（，）到点（，）的距离为，

则＝＋（－）

＝（－）＋－＋

＝－（＋）＋＋，（*）

令（）＝－（＋）＋＋.

（）当－≤－，即≥时，

＝（－）＝＋＝，

解得＝，∴椭圆方程为＋＝.

（）当－<

－，即<

<

时，＝（－）＝，

解得＝－>

，与<

矛盾．

综上所述，所求椭圆方程为＋＝.

例解依题意得（－，），

直线：

＝（＋），则（，）．

因为点为的中点，

所以（－，）．因为点在椭圆上，

所以＋＝，

即＋＝.

所以＝.

由≤，得≤，

即≤，

所以－＋≤.

解得≤≤.因为<

，

所以≤<

，即≤<

.

当堂训练

．＋＝

．[－，＋].（，±