时间序列课程论文.doc
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研究生课程论文
《非平稳时间序列分析》
课程名称《时间序列分析及应用 》
姓名王焕玲
学号1200403011
专业机械工程
任课教师黄宜坚教授
开课时间2012.3——2013.7
教师评阅意见：
论文成绩
评阅日期
课程论文提交时间：
2013年9月5日
非平稳时间序列分析
摘要：
本文概要介绍了一般非平稳时间序列数据的模型、数据特点及针对性的分析方法，并以实例解释了具体的分析过程，望对以后时间序列的分析提供参考。
关键字：
非平稳，时间序列，合成，实例
Abstract:
Thispaperoutlinedthemodelandsynthesisofthegeneralnon-stationarytimeseriesofdataanddescribedthefeaturesandspecifiedanalyticalmethodsandtookanexampletoexplainthespecificprocessofanalysis,lookingtomakereferencesforthefuturestudyoftimeseriesanalysis.
Keywords:
non-stationary,timeseries,synthesis,examples
一、引言
所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。
如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。
人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。
平稳序列的直观含义就是序列中不存在任何趋势性和周期性,其统计意义就是一阶矩为常数，二阶矩存在且为时间间隔t的函数。
但是在实际问题中，我们常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是呈现出明显的趋势性或周期性。
这时，我们就不能认为它是均值不变的平稳过程，需要用如下更一般的模型—来描述。
其中,表示中随时间变化的均值,它往往可以用多项式、指数函数、正弦函数等描述，而是中剔除趋势性或周期性数值后余下的部分，往往可以认为是零均值的平稳过程，因而可以用ARMA模型来描述。
具体的处理方法可分为两大类：
一类是通过某些数学方法剔除掉中所包含的趋势性或周期性（即），余下的可按平稳过程进行分析与建模，最后再经反运算由的结果得出的有关结果。
另一类方法是具体求出的拟合形式，求出，然后对残差序列{}进行分析，该残差序列可以认为是平稳的。
利用前述方法可以求出，最后综合可得。
如果我们对的形式并不敢兴趣，则可以采取第一类方法，否则可以用第二类方法。
需要再强调的一点是，时间序列非平稳性的表现是多种多样的，这里我们所能分析处理的仅是一些较为特殊的非平稳性。
二、研究模型
经济变量的非平稳性可能会给回归模型的参数估计带来虚假回归问题，因此必须进行数列非平稳的分析研究。
2.1平稳化方法
研究平稳化的方法主要有差分和季节差分及对数变换与差分运算的结合运用。
2.1.1差分
一般而言，若某序列具有线性的趋势，则可以通过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉，然后对差分后的序列拟合ARMA模型进行分析与预测，最后再通过差分的反运算得到的有关结果。
做一次差分可记为，则
（1）
如果对一阶差分结果再进行差分，则称为高阶差分，差分的次数称为差分的阶，d阶差分记为。
2.1.2季节差分
反映经济现象的序列，不少都具有周期性，例如，刚收获的小麦，由于供应充足，价格一般是较低的，然后随着供应量的减少，价格会逐渐上涨，直至下一个收获季节又重新开始这一周期。
设为一含有周期S的周期性波动序列，则…为各相应周期点的数值，它们则表现出非常相近或呈现某一趋势的特征，如果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值相减，这就叫季节差分，它可以消除周期性的影响。
季节差分常用表示,其中S为周期。
2.1.3对数变换与差分运算的结合运用
如果序列含有指数趋势，则可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势，然后再进行差分以消除线性趋势。
2.2齐次非平稳
在除去局部水平或趋势以外，某些非平稳时间序列显示出一定的同质性，即序列的某一部分与任何其他部分极其相似。
这样的序列往往经过若干次差分后可转化为平稳序列，这种非平稳性称为齐次非平稳性，差分的次数称为齐次性的阶。
实际中较为常见的是一阶和二阶的齐次非平稳性，表现为两种情形：
第一种是序列呈现出水平非平稳性，除了局部水平不同，序列是同质的，也就是说序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。
这样的序列经过一次差分后可转化为平稳序列。
第二种是序列呈现出水平和斜率的非平稳性，序列既没有固定的水平，也没有固定斜率，除此之外，序列是同质的，这样的序列经过两次差分后可转化为平稳序列。
2.3ARIMA模型
对于d阶齐次非平稳序列而言，是一个平稳序列，设其适合ARMA（p,q）模型，即
（2）
也可写作：
（3）
其中：
（4）
（5）
称此模型为求和自回归滑动平均模型（IntegreatedAutoregressiveMovingAverageModel），简记为ARIMA（p,d,q），其中p,d,q分别表示自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
之所以称之为求和自回归滑动平均模型,是因为差分的反运算即位求和运算。
常见的ARIMA模型有以下几种：
1.ARIMA（0,1,1）
（6）
也可写作：
（7）
这就是说，是1阶齐次非平稳序列，一次差分后适合MA
（1）模型，值得注意的是，不能认为是平稳ARMA（1,1）序列，因为其特征根r=1，不在单位圆内。
2.ARIMA（0,2,2）
（8）
即序列两次差分后适合MA
（2）模型。
3.ARIMA（1,1,1）
（9）
即经一次差分适合ARMA（1,1）模型。
三、仿真试验
如图3-1所示,为某市1985年-1993年各月工业生产总值（数据见附录1）。
可以看出Xt具有明显的周期性，做一次差分Yt=Xt-Xt-12，剔除掉周期性。
这样就可以按照平稳序列线性模型的知识来进行模式识别，参数估计等。
1．求出差分后的数据的均值，并使序列零均值化，也就是将Yt-μ,得到的序列为零均值的平稳随机序列,如图3-2所示。
2．求Wt的样本自相关函数和样本偏相关函数，本例中选取的k=0，1，2，…，24,以保证k相对于n不能取太大。
（10）
（11）
（12）
图3-1:
某市1985年-1993年各月工业生产总值Xt
图3-2:
零均值化后的平稳序列Wt
3.根据样本自相关函数和样本偏相关函数确定模型类别和定阶。
如图3-3和图3-4可以看出，当k>2时，有<,并且呈现拖尾现象，故可判定此模型为AR
（2）模型。
图3-3:
样本自相关函数
图3-4:
样本偏相关函数
4.参数估计。
，，
，带入数据可得，，，。
这样就得到了Wt的随机线性模型。
。
在进行预报时，可以先对进行预报，然后加上均值得到的预报值,然后在反差分得到原始序列的预报值。
附录1
1、某市1985-1993年各月工业生产总值（单位:
万元）
1985.01
10.93
9.34
11.00
10.98
11.29
11.84
1985.07
10.62
10.90
12.77
12.15
12.24
12.30
1986.01
9.91
10.24
10.41
10.47
11.51
12.45
1986.07
11.32
11.73
12.61
13.04
13.14
14.15
1987.01
10.85
10.30
12.74
12.73
13.08
14.27
1987.07
13.18
13.75
14.42
13.95
14.53
14.91
1988.01
12.94
11.43
14.36
14.57
14.25
15.86
1988.07
15.18
15.94
16.54
16.90
16.88
18.10
1989.01
13.70
10.88
15.79
16.36
17.22
17.75
1989.07
16.62
16.96
17.69
16.40
17.51
19.73
1990.01
13.73
12.85
15.68
16.79
17.59
18.51
1990.07
16.80
17.27
20.83
19.18
21.40
23.76
1991.01
15.73
13.14
17.24
17.93
18.82
19.12
1991.07
17.70
19.87
21.17
21.44
22.14
22.45
1992.01
17.88
16.00
20.29
21.03
21.78
22.51
1992.07
21.55
22.01
22.68
23.02
24.55
24.67
1993.01
19.61
17.15
22.46
24.19
23.40
26.26
1993.07
22.91
24.03
23.94
24.12
25.87
28.25
2、样本自相关函数的值
1
2
3
4
5
6
0.4282
0.2907
0.1878
0.0421
0.0870
0.0478
7
8
9
10
11
12
0.0023
0.0458
0.0849
0.0035
-0.0483
-0.1972
13
14
15
16
17
18
-0.00698
-0.0568
-0.0063
0.1523
0.1411
0.1165
19
20
21
22
23
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