高数下册单元测试题完全版资料下载.pdf

高数下册单元测试题完全版资料下载.pdf

《高数下册单元测试题完全版资料下载.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数下册单元测试题完全版资料下载.pdf（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

的方向导数为：

coscoscoszuyuxunu+=本题n?

（,）mnl=非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：

2221cos3mmnl=+，2221cos3nmnl=+，2221cos3lmnl=+因为3xxu=，6yyu=，9zzu=，于是所求方向导数为（1,2,3）un11111133333333=+=（3）设）,（xyzzyxfz+=，求xz.解：

令,zyxu+=,xyzv=则）,（vufz=高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-3-把z看成yx,的函数对x求偏导数得xz）1（xzfu+=）,（xzxyyzfv+整理得xz1uvuvfyzffxyf+=（4）求旋转抛物面122+=yxz在点）4,1,2（处的切平面及法线方程解：

1）,（22+=yxyxf（2,1,4）（2,1,4）（2,2,1）nxy=?

（4,2,1）=，切平面方程为,0）4（）1

（2）2（4=+zyx即0624=+zyx法线方程为214421xyz=2设22（,）（0,0）（,）0（,）（0,0）xyxyxyfxyxy+=，求（,）fxy的偏导数解：

当（,）（0,0）xy时，22222）

（2）（）,（yxxyxyxyyxfx+=,）（）（22222yxxyy+=22222）

（2）（）,（yxxyyyxxyxfy+=,）（）（22222yxyxx+=当（,）（0,0）xy=时，按定义可知xfxffxx=）0,0（）0,（lim）0,0（0,00lim0=xxyfyffyy=）0,0（）,0（lim）0,0（0,00lim0=yy,）0,0（）,（0）0,0（）,（）（）（）,（22222=+=yxyxyxxyyyxfx.）0,0（）,（0）0,0（）,（）（）（）,（22222=+=yxyxyxyxxyxfy3设（,）wfxyzxyz=+，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解：

令,zyxu+=;

xyzv=记,）,（1uvuff=,）,（212vuvuff=同理有,2f,11f.22f高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-4-=xwxvvfxuuf+;

21fyzf+=zxw2）（21fyzfz+;

221zfyzfyzf+=zf1zvvfzuuf+11;

1211fxyf+=zf2zvvfzuuf+22;

2221fxyf+=于是=zxw21211fxyf+2fy+）（2221fxyfyz+.）（22221211fyfzxyfzxyf+=4设）（uf具有二阶连续导数，且）（）（）,（yxyfxyfyxg+=，求.222222ygyxgx解：

）（）（2yxfxyfxyxg+=，）

（1）（）（242322yxfyyxfxyxyfxyxg+=，）（）（）（1yxfyxyxfxyfxyg+=，）（）（12222yxfyxxyfxyg=）（）（322yxfyxyxfyx+所以222222ygyxgx）.（2xyfxy=5求曲线6222=+zyx，0=+zyx在点（1,2,1）处的切线及法平面方程.解：

方程两边对x求导得=+=+1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy=,zyyxdxdz=（1,2,1）0,dydx=（1,2,1）1,dzdx=由此得切向量（1,0,1）,T=?

切线方程为,110211=+=zyx法平面方程为,0）1（）2（0）1（=+zyx即0=zx.6（本题10分）cos（cossinyxyxz+=（0,2xy），求z的极值高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-5-解：

=+=0）sin（sin0）sin（cosyxyzyxxzyx，求得驻点：

36驻点处2222233,32zzzABCxxyy=，20BAC，且0A），0y=所围成的半圆柱体7（本题10分）求位于两圆sin2=r与sin4=r之间的均匀薄片的质心.8（本题10分）求均匀半球的形心，其中是由222zaxy=与0=z所围成的闭区域.高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-8-第第10章单元测试题参考答案章单元测试题参考答案1解答下列各题（每小题5分，共30分）

（1）交换（）22022244,yydyfxydx+的积分次序解：

D：

+242242,20yxyy图形如右（上半圆），由图可知，D也可表为,40,402xxyx所以交换积分次序后，得（）24400,xxdxfxydy

（2）改变积分212220010（,）（,）xxxdxfxydydxfxydy+的次序解：

212220010（,）（,）xxxdxfxydydxfxydy+212011（,）yydyfxydx=（3）化积分为极坐标形式的二次积分：

100d（,）dxIxfxyy=解：

过原点作射线穿过积分域内部，分别交边界于两点，在这条线上关于r积分.cos1rx=，secr=，故40sec0（cos,sin）Idfrrrdr=xy24Ooxy1yx=高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-9-（4）化积分为极坐标形式的二次积分：

1002（,）xIdxfxydy=.解：

过原点作射线穿过积分域内部，分别交边界于两点，在这条线上关于r积分.22sin（cos）ryxr=，tansecr=；

cos1rx=，secr=，故40secsectan（cos,sin）Idfrrrdr=（5）化积分为极坐标形式的二次积分：

22002（,）aaxxIdxfxydy=.解：

图形如下所示（上半圆），过原点作射线穿过积分域内部，分别交边界于两点，在这条线上关于r积分.22yaxx=即为222xyax+=，22cos2cosrarra=，故202cos0（cos,sin）aIdfrrrdr=xoyoxy12xy=高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-10-（6）化积分为直角坐标形式的二次积分：

1400d（cos,sin）dIfrrrr=.解：

首先由题设画出积分区域的图形，图形如下所示，显然是Y型域，则22120d（,）dyyIyfxyx=2求Dydxdyex22，其中D是以（0，0）、（1，1）、（0，1）为顶点的三角形解：

dyey2无法用初等函数表示，积分时必须考虑次序。

22yDxedxdy12200yydyxedx=31203yyedy=212206yyedy=）.e（2161=3利用二重积分求几何体的体积，几何体是由平面0z=及抛物面zyx=+622所围成的.解：

如图，几何体可看成是以xOy面内的区域D：

622+yx为底，以曲面226yxz=为顶的曲顶柱体.故体积22（6）dDVxy=令cosrx=，sinry=，则D：

0602r从而V=26200d（6）drrr=64202（3）184rr=.xOyzoxy1yx=221xy+=22高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-11-4（本题10分）设区域22（,）1,0Dxyxyx=+，计算221dd1Dxyxyxy+.解：

由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.积分区域D如下图所示，区域D关于x轴对称，设区域1D是其在x轴上方的部分.221（,）1fxyxy=+是变量y的偶函数，22（,）1xygxyxy=+是变量y的奇函数，则112222220011ln2dd2dd2dd1112DDrxyxyrxyxyr=+，22dd01Dxyxyxy=+故22222211ln2dddddd1112DDDxyxyxyxyxyxyxyxy+=+=+.?

只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.5求dxdyxyyxD+）（22,D是由21xy=和x轴所围的半圆形区域.解：

积分区域D如下图所示，区域D关于y轴对称，xy是关于变量x的奇函数，则0Dxydxdy=.而0:

D，10r，于是，2222（）DDxyxydxdyxydxdy+=+=1200drdr13003rd=3=xoy高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-12-6计算22zxydxdydz+，其中是由柱面xyx222=+与平面0z=，za=（0a），0y=所围成的半圆柱体解：

利用直角坐标与柱坐标的关系为=zzryrxsincos，在柱面坐标系下，az020cos20:

，于是22zxydxdydz+2zdddz=200022cosaddzdz=dcos342032=a398a=7求位于两圆sin2=r与sin4=r之间的均匀薄片的质心解：

利用对称性可知0=x；

而xoy2axyzocos2=42DoyxC高等数学下册单元测试题完全版高等数学（赵）-13-=DyxyAydd1=Drrddsin312=0dsin3124sin2sinrdrdsin95604=dsin2956204=37221432956=.8求均匀半球的形心，其中是由222zaxy=与0=z所围成的闭区域.解1：

利用柱面坐标计算，由对称性知：

0,0=yx，32（）3a=表示的体积.（）zdVz=222300032aardrdrzdza=2223003（）22ararddra=43388aaa=