上海市新知杯模拟题与详解内部资料资料下载.pdf
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（）32121=（）5325101121+=+=22.已知（）011,2,ixin+=+。
所以2n。
但当1n=时，1111x+，因此只能是2n=。
所以1211111xx+=+，当且仅当121xx=时成立。
所以（）（）212124nnxxxxx+=+=。
33.p是质数，设444pqp=+也是质数，则q的值为。
149。
由4被3除余1，知4p被3除余1。
因此44p+被3除余2。
如果3p，则质数p不被3整除，而3q，所以此时q为合数，与q也是质数的条件不符，因此，只能3p=。
当3p=时，34434149q=+=。
经检验，149确实是质数，满足题意。
44.面积为12!
的矩形中，长与宽是互质的正整数的有个。
【解析】2,3,5,7,11共5个质数，所以个数是4216=个。
55.如图，MON两边上分别有,ACE及,BDF六个点，并且1OABABCCDEDEFSSSS=，则CDF的面积为。
NOMBACDFE【答案】：
34。
设OAa=，OBb=，则由OAB与ABC等积可得，ACa=。
又由:
2:
1OCBDBCSS=得2bBD=。
由:
1:
3DCEOCDSS=，得23aCE=。
4EDFOCDSS=得1348DFODb=。
34CDFCBDSDFSBD=，又31,4CDBCDFSS=。
66.ABC中，90C=，,DE是BC边上的两点，且1123ABCADCAEC=，若有11BD=，5DE=，则AC=_。
8.8。
如图，分析角的关系可知ADEBAE。
ADAEDEBABEAE=，ABDBAD=，11,16ADBDBEBDDE=+=245AEBEDE=，4455ADAEABDE=.设ECx=，ACy=，由222ABBCAC=+，得（）222445165xy=+，又2280xy+=，24425632805x+=，解得1.6,8.8xy=。
aa3a2aa77.在191这91个自然数中任取k个数，使得其中必有两个自然数,pq满足2332qp，则自然数k的最小值是。
将这91个自然数分为九组，使每组中任两个自然数的比值均不小于23且不大于32，分组如下：
1234,1,2,34,5,6,7,8,9,10AAAA=，511,12,13,14,15,16A=，617,18,19,20,21,22,23,24,25A=，726,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39A=，840,41,59,60A=，961,62,91A=当任取这91个数中的9个数，如果在19AA中各取一个，这9个数中任意两数之比均小于23或大于32，可见9k，所以10k。
当10k=时，在这91个数中任取10个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一个iA，比如这两个数就是p和q，且pq。
于是2332qp成立。
所以k的最小值是10。
88.已知实数,xy满足221xyxy+=，则32xyxy+的值为。
5。
（）22222142xyxyxy+=，（）242xyxy+，（）333xyxyxy+=+=，22xyxy+=+于是（）（）32325xyxyxyxy+=+=。
99.20122的十进制表示是个p位数，20125的十进制表示是个q位数，则pq+=_。
20122是个p位数1201210210pp20125是个q位数1201210510qq得，22012101010pqpq+，由于8名选手每人比赛7局最多可胜7场，所有17a。
大家共赛78282=场，总积分为28分。
所以12aa+828a+=因为每局的积分为0,0.5,1这三种值，所以每人的积分只能取0,0.5,1,6.5,7这15个值。
又知，4256784.5,aaaaaa=+若35.5a，则216,6.5aa此时123aaa+6.565.518+=由4567810aaaaa+，但44.5a=，由25678104.55.5aaaaa=+=这与26a矛盾！
所以35.5a=，所以35a=这时由得125678284.5518.5aaaaaa+=，也就是12218.5aa+=。
此时2a只能等于6，16.5a=。
所以前三名选手的积分分别为：
5分，6分，6.5分。
11.a和b都是大于1的整数，,ab为何值时，方程（）（）（）2224241210abxaabbxab+=有两个整数根。
（,）（11,5）（3,13）（5,7）ab=22.正方形ABCD被两条与边平行的线段,EFGH分割成四个小矩形，P是EF和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的两倍。
试确定HAF的大小并证明你的结论。
45HAF=,我们证明如下：
设,AGaBGbAExEDy=，则有关系式（）（）122abxyaxby+=+=，所以axyb=，平方可得222222aaxxybyb+=+，将（）2代入得2222aaxxy+=24axb+，（）22222axbyaxby+=+=+22222byCHCFFH+=+=,axFH+=即DHBFFH+=.将RtADH绕A旋转90到RtABM的位置。
易证AMF和AHF全等，MAFHAF=,则MAHMABBAH=+=90DAHBAH+=1452HAFMAH=PBCADGHEFxbayPBCADMGHEF33.命题k，设,abc是非负实数，如果（）4442222222abcabbcac+，则（）2222abcabbcac+证明命题k是正确的。
写出命题k的逆命题，判断其真假，并证明。
【证明】：
设（）（）2222224442Dabbcacabc=+（）（）22222222442ababcabc=+（）（）222222ababc=+由于0D，则（）（）222222ababc+，2222ababc+因为字母,abc地位对称，不妨设abc。
则（）222222222222abcabccabcabbcac+。
k的逆命题：
设,abc是非负实数，如果（）2222abcabbcac+，则（）4442222222abcabbcac+。
此命题为假命题，举反例如下：
当4,1abc=时，22161118abc+=+=（）241111418+=，满足（）2222abcabbcac+=+，而444258abc+=，（）222222266abbcac+=，所以有（）4442222222abcabbcac+，因此该命题不真。
44.A是两个相邻正整数之积，求证：
（1）可在A的十进制记法右边添2个数码得到完全平方数.
（2）12A时添法唯一.
（1）设
（1）Ann=+，则222510010025（5）Annn=+=
（2）设2210010010（10）Axynnxyna=+=+，21001020nxyana+=+.若8a，右边不小于16064100124nn+大于左边；
若4a，右边不大于8016100nn+，即12A时只有一种添法。
新知杯模拟考新知杯模拟考新知杯模拟考新知杯模拟考（二二二二）一一一一、填空题填空题填空题填空题（前前前前5题每题题每题题每题题每题8分分分分，后后后后5题每题题每题题每题题每题10分分分分）11.已知实数已知实数已知实数已知实数,xyz满足满足满足满足5xy+=及及及及29zxyy=+，则则则则23xyz+=_22.若若若若x表示不超过表示不超过表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数的最大整数的最大整数，则方程则方程则方程则方程232012xxxx=+的解的解的解的解是是是是_.33.如如如如图图图图，在正三角形在正三角形在正三角形在正三角形ABC和正三角形和正三角形和正三角形和正三角形111ABC中中中中，点点点点O既是既是既是既是AC中点中点中点中点，又是又是又是又是11AC的中点的中点的中点的中点，则则则则11:
AABB的值的值的值的值是是是是.C1B1A1OCBA44.一家股份公司有一家股份公司有一家股份公司有一家股份公司有2012个股东个股东个股东个股东，已知任意已知任意已知任意已知任意1111个股东合起来就具有控制权个股东合起来就具有控制权个股东合起来就具有控制权个股东合起来就具有控制权（即占不少于一半的股份即占不少于一半的股份即占不少于一半的股份即占不少于一半的股份）.那么请问一个股东所能占到的股份份额最多是那么请问一个股东所能占到的股份份额最多是那么请问一个股东所能占到的股份份额最多是那么请问一个股东所能占到的股份份额最多是.55.已知质数已知质数已知质数已知质数,pq使得表达式使得表达式使得表达式使得表达式21pq+及及及及23qp都是自然数都是自然数都是自然数都是自然数，则则则则2pq的值是的值是的值是的值是.66.在在在在ABC中中中中，AD是是是是BAC的平分线的平分线的平分线的平分线，若若若若25ABBD+=，4ACCD=，则则则则AD=.77.任取任取任取任取n个互不相同的个互不相同的个互不相同的个互不相同的且都不超过且都不超过且都不超过且都不超过52的正整数的正整数的正整数的正整数，它们中一定存在两个数它们中一定存在两个数它们中一定存在两个数它们中一定存在两个数，其差要么等于其差要么等于其差要么等于其差要么等于4，要么等于要么等于要么等于要么等于5，要么等于要么等于要么等于要么等于9，那么那么那么那么n的最小值是的最小值是的最小值是的最小值是.88.在边长在边长在边长在边长95米的正方形区域米的正方形区域米的正方形区域米的正方形区域ABCD内有一个边长为内有一个边长为内有一个边长为内有一个边长为19米的正方形水池米的正方形水池米的正方形水池米的正方形水池1111ABCD，若四边形若四边形若四边形若四边形11AABB的面的面的面的面积是积是积是积是2336平方米平方米平方米平方米，则四边形则四边形则四边形则四边形11CCDD的面积是的面积是的面积是的面积是_平方米平方米平方米平方米.D1A1ABDCC1B199.黑板上写有黑板上写有黑板上写有黑板上写有12012这这这这2012个自然数个自然数个自然数个自然数，对它们进行操作对它们进行操作对它们进行操作对它们进行操作.每次操作规则如下每次操作规则如下每次操作规则如下每次操作规则如下：
擦掉写在黑板擦掉写在黑板擦掉写在黑板擦掉写在黑板上的三个上的三个上的三个上的三个数后数后数后数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字再添写上所擦掉三个数之和的个位数字再添写上所擦掉三个数之和的个位数字再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如例如例如例如：
擦掉擦掉擦掉擦掉5,13和和和和1998后后后后，添上添上添上添上6；
若再擦掉若再擦掉若再擦掉若再擦掉6,6,38，添添添添上上上上0，等的等的等的等的.如果经过如果经过如果经过如果经过1005次操作后次操作后次操作后次操作后，发现黑板上剩下两个数发现黑板上剩下两个数发现黑板上剩下两个数发现黑板上剩下两个数，一个
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