电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答资料下载.pdf

电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答资料下载.pdf

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求，有E?

220022000222200220（/2）/2ln2ln（/2）/2）ln212/2（/2）（/2）4（/2）llllLLEdeLLdeLLLzeL+=+=+=+?

3.2点电荷位于，另一点电荷1qq=1（,0,0）Pa22qq=位于，求空间的零电位面。

2（,0,0）Pa解：

两个点电荷q+和在空间产生的电位2q222222012（,）4（）（）qqxyzxayzxayz=+令（,）0xyz=，则有222222120（）（）xayzxayz=+即222224（）（）2xayzxayz+=+故得22254（）（332）xayza+=由此可见，零电位面是一个以点5（,0,03a）为球心、43a为半径的球面。

3.3电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为1220,cos,aaAa=

（1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？

其表面上有电荷分布吗？

试求之。

（1）由E=?

，可得a时，0E=?

a时，22（）cos（）cosaaEeAeA=?

22221cos1sinaaeAeA=+?

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为n002cosSaaeDeEA=?

3.4已知的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？

0y

（1）；

（2）；

（3）coshyexcosyex2sincosexx；

（4）sinsinsinxyz。

在电荷体密度0=的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程。

20=

（1）222222（cosh）（cosh）（cosh）yyyexexexxyz+=2coshyex0所以函数不是空间中的电位解；

coshyex0y

（2）222222（cos）（cos）（cos）yyyexexexxyz+=coscos0yyexex+=所以函数是空间中可能的电位解；

cosyex0y（3）222222（sincos）（sincos）（sincosexxexxexxyz+）x224sincos2sincosexxexx=+0所以函数2sincosexx不是空间中的电位解；

0y（4）222222（sinsinsin）（sinsinsin）（sinsinsin）xyzxyzxyzxyz+3sinsinsin0xyz=所以函数sinsinsinxyz不是空间中的电位解。

0y3.5一半径为0R的介质球，介电常数为r0=，其内均匀地分布着体密度为的自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为2r0r02123R+。

由高斯定理dSDSq=?

，得0rR时，3202443RrD=，即30223RDr=，30122003RDEr=故介质球中心点的电位为00003222000r12000r0r00r0021（0）dddd（）363232RRRRRRRrErErrrRr+=+=+=+=33.6电场中有一半径为、介电常数为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为3010020coscos2EraEr=+（ra）02003cos2Er=+（ra）试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。

在介质球表面上001000003（,）coscoscos22aEaaEEa=+=+02003（,）cos2aEa=+0100002（）3coscoscos22raEEr0E=+02003cos2raEr=+故有12（,）（,）aa=，120rararr=可见，1和2满足球表面上的边界条件。

介质球表面的束缚电荷密度为n20r2（）PSraePeE=?

0020003（）（）cos2raEr=+3.7两块无限大导体平板分别置于0x=和xd=处，板间充满电荷，其体电荷密度为0xd=，极板的电位分别设为0和，如图题3.7所示，求两导体板之间的电位和电场强度。

0U（）x0=0U=0dx图题图题3.7解：

两导体板之间的电位满足泊松方程20=，故得2020d1dxxd=解此方程，得3006xAxBd=+在处，0x=0=，故0B=在xd=处，0U=，故30006dUAdd=+，得0006UdAd=+所以30000066xUdxdd=+20000026xxxUdEeexdd=+?

3.8试证明：

同轴线单位长度的静电储能2e2lqWC=。

式中为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。

lq证：

证：

由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为（）2lqE=内外导体间的电压为ddln22bbllaaqqbUEa=则同轴线单位长度的电容为2ln（/）lqCUba=同轴线单位长度的静电储能为2222e111d2dln222222llblVaqqqbWEVaC=13.9有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为1和2的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。

试求：

（1）导体球的电容；

（2）总的静电能量。

图题图题3.9a21oq解：

（1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有1t2tEE=12EEE=。

由于111DE=、222DE=，所以12DD。

由高斯定理，得1122DSDSq+=，即221222rErEq+=所以2122（）qEr=+导体球的电位212121（）dd2（）2（）aaqqaErrra=+故导体球的电容122（）（）qCaa=+

（2）总的静电能量为2e121（）24（）qWqaa=+3.10两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为的液态介质中，两板间加电压U，试证明液面升高02001（）2Uhgd=式中的为液体的质量密度，为重力加速度。

g图题图题3.10dU0Lh解：

设金属板的宽度为a、高度为。

当金属板间的液面升高为h时，其电容为L0（）aLhahCdd=+金属板间的静电能量为0022e01（）22aUUhLhdWC=+液体受到竖直向上的静电力为02ee0（）2aUWFhd=而液体所受重力gFmgahdg=eF与gF相平衡，即200（）2aUahdgd=故得到液面上升的高度2200002（）1（）22UUhdggd=3.11同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为；

内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为ac1和2，电导率为1和2，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。

当外加电压为时，试求：

（1）介质中的电流密度和电场强度分布；

（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。

0U解：

（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由dSJSI=?

，可得电流密度2IJe=?

（）ac介质中的电场1112JIEe=?

（）ab2222JIEe=?

（）bc由于01212ddlnln22bcabIbIcUEEab=+=+?

于是得到120212ln（/）ln（/）UIbacb=+故两种介质中的电流密度和电场强度分别为12021ln（/）ln（/）UJebacb=+?

（）ac20121ln（/）ln（/）UEebacb=+?

（）ab10221ln（/）ln（/）UEebacb=+?

（）bc

（2）同轴电缆单位长度的漏电阻为02112ln（/）ln（/）2UbacbRI+=由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为12212ln（/）ln（/）Cbacb=+3.12在电导率为的无限大均匀介质内，有两个半径分别为1R和2R的理想导体小球，两小球之间的距离为d（设、），试求两个小导体球面之间的电阻。

（注：

只需求一级近似解）1dR?

2dR?

此题可采用静电比拟的方法求解。

假设位于介电常数为的介质中的两个小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，两小球表面的电位为qq1dR?

11211（）4qRdR=，22111（）4qRdR=所以两小导体球面间的电容为1212141111qC2RRdRdR=+由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为1212141111IG2RRdRdR=+故两个小导体球面间的电阻为121111111（）4RGRRdRdR=+2r23.13在一块厚度为d的导体板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为1r的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。

（1）沿导体板厚度方向的电阻；

（2）两圆弧面间的电阻；

沿方向的两电极间的电阻。

设导体板的电导率为。

1r2rdJ图题图题3.13解：

（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有111UEd=，111UJEd=，22111121（）2UIJSrrd=故得到沿厚度方向的电阻为1122122（）UdR1Irr=

（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为U，则2rdISIJ2222=，222JIErd=，2122221dlnrrIrUErdr=故得到两圆弧面之间的电阻为222211lnUrRIdr=（3）设沿方向的两电极的电压为3U，则有UE330dr=由于与3E无关，所以得到33UEer=?

，333UJEer=?

，231332331ddlnrSrdUdUrIJeSrrr=?

故得到沿方向的电阻为3332ln（/）UR1Idrr=3.14有用圆柱坐标系表示的电流分布0（）（）zJeJ=a?

，试求矢量磁位A?

和磁感应强度B?

。

由于电流只有分量，且仅为圆柱坐标ze?

的函数，故A?

也只有分量，且仅为ze?

的函数。

记a和a的矢量位分别为1A?

和2A?

由于在a时电流为零，所以211001（）（）zzAAJ=a（）2221（）（）0zzAA=（a）由此可解得310011（）ln9z1AJC=+D（）lnACD222z=+2C2zA式中，C、可由和满足的边界条件确定：

11D2D1zA0时，1（）zA为有限值，若令此有限值为零，则得C10=、。

10D=a=时，12（）（）zzAaAa=12zzaaAA=即300221ln9JaCaD=+，2002113JaCa=由此可解得32013CJ0=a，320011（ln）33DJaa=故3101（）9zA0J=（a）3332000000111113（）ln（ln）（ln）3333zAJaJaaJaa=+a（）空间的磁感应强度为20011（）（）3JBAe=?

（a）3.15无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，如图题3.15所示，试求：

（1）两种磁介质中的磁感应强度1B?

和2B?

；

（2）磁化电流分布。

10=2=Ixz图题图题3.15解：

（1）由安培环路定理，可得2IHe=?

所以得到0102IBHe=?

22IBHe=?

（2）磁介质在的磁化强度0200（）12IMBHe=?

则磁化电流体密度0m0（）1d1d1（）（）d2dzzIJMeMe0=?

由22IBHe=?

看出，在0=处，2B?

具有奇异性，所以在磁介质中0=处存在磁化线电流mI。

以轴为中心、z为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有m001dCIIIBl+=?

故得到m0

（1）II=在磁介质的