用函数观点看一元二次方程Word格式文档下载.docx

用函数观点看一元二次方程Word格式文档下载.docx

《用函数观点看一元二次方程Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用函数观点看一元二次方程Word格式文档下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

下面提供三种方法．

（1）直接作函数y=ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根．

（2）先将方程变形为ax2＋bx=－c，再分别作抛物线y=ax2＋bx和直线y=－c，则直线y=－c与抛物线y=ax2＋bx的交点的横坐标就是方程的根．

　　（3）先将方程变形为ax2=－bx－c，再分别作抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，则直线y=－bx－c与抛物线y=ax2的交点的横坐标就是方程的根．

二、重难点知识

重点：

二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的关系

难点：

二次函数与一元二次不等式的关系：

对于y=ax2＋bx＋c，

　①当x取何值时，y=0，即求方程ax2＋bx＋c=0的解；

　②当x取何值时，y＞0，即求不等式ax2＋bx＋c＞0的解；

　③当x取何值时，y＜0，即求不等式ax2＋bx＋c＜0的解.

三、典型例题讲解

例1、已知二次函数y=x2－（m2＋5）x＋2m2＋6，试问该函数的图象与x轴是否有两个交点？

若有两个交点，试求出其中一个交点坐标；

若没有交点，请说明理由．

分析：

　　解题关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来探究．

解：

　　∵在一元二次方程x2－（m2＋5）x＋2m2＋6=0中，a=1，b=－（m2＋5），c=2m2＋6，

　　∴b2－4ac=[－（m2＋5）]2－4×

1×

（2m2＋6）=m4＋2m2＋1=（m2＋1）2＞0．

　　∴该方程有两个不相等的实数根．

　　∴二次函数y=x2－（m2＋5）x＋2m2＋6变形得y=x2－5x＋6＋m2（2－x）．

　　令x=2，y=22－5×

2＋6＋m2·

（2－2）=0．即二次函数y=x2－（m2＋5）x＋2m2＋6的图象必经过x轴上的点（2,0）．

反思：

　　对于抛物线y=x2＋kx＋k，若必经过某定点，那么交点坐标与k的取值无关．

例2、已知：

抛物线y=x2－mx＋

与抛物线y=x2＋mx－

m2在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点．

（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？

并说明理由．

（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足

，求经过A、B两点的抛物线的关系式。

（1）经过A、B两点的抛物线的△＞O；

（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解．

　　解法一：

（1）y=x2－mx+

中△1=m2－2m2=－m2.

　　∵抛物线不过原点，∴m≠0，∴－m2﹤0，∴△1﹤0.

　　∴抛物线y=x2－mx＋

与x轴无交点．

　　y=x2＋mx－

m2经过A、B两点．

（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，∴OA=－x1，OB=x2.

　　又∵

∴

，即3（x1＋x2）=2x1x2.

　　又∵x1，x2是方程x2＋mx－

m2=0的两根，∴x1＋x2=－m，x1x2=－

m2.

　　∴－3m=-

m2.∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2.

　　∴经过A、B两点的抛物线为y=x2＋2x－3.

　　解法二：

（1）∵两条抛物线都不过原点，∴m≠0．

　　抛物线y=x2－mx＋

与y轴交于（0，

）.∵

﹥0，

不经过A、B点．

　　抛物线y＝x2＋mx－

m2与y轴交于（0，－

m2），－

m2﹤0，

　　∴抛物线y=x2＋mx－

（2）同解法一中的

（2）.

　　根据图象解决二次函数问题，可由抛物线开口方向，对称轴位置，顶点位置，与x轴交点个数，与y轴交点位置等来确定系数的关系．

例3、利用二次函数的图象求一元二次方程x2－x－3=0的近似根（精确到0.1）．

　　因为二次函数y=x2－x－3与x轴交点的横坐标即为一元二次方程x2－x－3=0的解，所以可通过作二次函数y=x2－x－3的图象来求方程x2－x－3=0的近似根．

　　在平面直角坐标系内作出函数y=x2－x－3的图象，如图所示．由图象可知方程有两个实数根：

一个在－2和－1之间，另一个在2和3之间．

（1）先求－2和－l之间的根，利用计算器探索如下：

x

－1.1

－1.2

－1.3

－1.4

y

－0.69

－0.36

－0.01

0.36

　　因此，x=－1.3是方程的一个近似根．

（2）另一个根也可类似地求出：

2.1

2.2

2.3

2.4

　　因此，x=2.3是方程的一个近似根．

　　所以一元二次方程x2－x－3的近似根为x1=－1.3，x2=2.3．

解本类型题的基本方法是先作出二次函数的图象，并根据图象确定一元二次方程的解的个数；

再由二次函数图象与y=h的交点位置确定交点，横坐标的范围；

最后利用计算器估算方程的近似根（通常保留一位小数）．

练习：

一、选择题

1、如果b>

0，c>

0那么二次函数y=ax2＋bx＋c的图象大致是（　）

A．

　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　D．

2、一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x＋1的图象有（　）

A．一个交点　　　　　　　　　　　　　　B．两个交点

C．无数个交点　　　　　　　　　　　　　D．无交点

3、已知二次函数y=mx2－2x－3的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　）

　　　　　　　　　　　　　　　B．

4、如果对于任意实数x，函数y=ax2＋bx＋c的值都是负数，那么有（　）

A．a＞0，b2－4ac＞0　　　　　　　　　　B．a＜0，b2－4ac＜0

C．a＞0，b2－4ac＜0　　　　　　　　　　D．a＜0，b2－4ac＞0

5、如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，c），∠OBC=45°

，则下列各式成立的是（　）

A．b－c－1=0　　　　　　　　　　　　　　B．b＋c－1=0

C．b－c＋1=0　　　　　　　　　　　　　　D．b＋c＋1=0

6、函数y=ax＋b与y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　）

A．ab>

0　　　　　　　　　　　　　　B．ab<

C．ab>

0，c<

0　　　　　　　　　　　　　　D．ab<

7、已知抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴x=2，且经过点（3，0），则a＋b＋c的值是（　）

A．等于0　　　　　　　　　　　　　　　　B．等于1

C．等于－1　　　　　　　　　　　　　　　D．不能确定

8、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图，则化简二次根式

的结果是（　）

A．a＋b　　　　　　　　　　　　　　　　B．a－b＋2

C．－a＋b－2c　　　　　　　　　　　　　D．－a－b

9、已知二次函数y1=ax2＋bx＋c与一次函数y2=kx＋m的图象如图，直线与抛物线的交点为A（－2，4），B（8，2），则能使y1<

y2成立的x的取值范围是（　）

A．x>

8　　　　　　　　　　　　　　　　　B．x<

－2

C．x<

－2或x>

8　　　　　　　　　　　　　D．－2<

x<

8

10、已知二次函数

的图象如图所示，则a、b、c满足（　）

A．a＜0，b＜0，c＞0　　　　　　　　　　B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0　　　　　　　　　　D．a＞0，b＜0，c＞0

B　卷

二、填空题

11、已知二次函数y=（a－1）x2＋2ax＋3a－2的图象最低点在x轴上，那么a=______，此时函数的解析式为________．

12、设抛物线

的图象与x轴只有一个交点，则a18＋323a－6的值为______．