北京中考数学29题新定义综合练习.docx

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北京中考数学29题新定义综合练习

寒假作业之新定义

1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：

如果也是整数点，则称点为点P的“整根点”．

例如：

点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.

（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；

（2）如果点M对应的整根点的坐标为（2，3），则点M的坐标；

（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数，如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个

请求出实数a的取值范围.

备用图

2..如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：

如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．

（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E，F（0，），

①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_________；

②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；

（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．

3.若抛物线L：

与直线都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.

（1）若“路线”l的表达式为，它的“带线”L的顶点在反比例函数（x＜0）的图象上，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线与直线具有“一带一路”关系，求m,n的值；

（3）设

（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.

备用图

4．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′（x+y,x-y）．

（1）如图1，如果⊙O的半径为，

请你判断M（2,0），N（-2,-1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；

若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.

（2）如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

5.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与轴平行，则称该菱形为点的“相关菱形”，下图为点的“相关菱形”的示意图．

（1）已知点的坐标为，点的坐标为，且点的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周长为__________；

（2）若点的坐标为，点在直线上，且的“相关菱形”有一个内角为，求点的坐标；

（3）⊙的半径为，点的坐标为（其中），若在⊙上存在一点，使得点的“相关菱形”有一个内角为，直接写出的取值范围．

6.阅读材料：

①直线外一点P到直线的垂线段的长度，叫做点P到直线的距离，记作d（P，）

②两条平行线，，直线上任意一点到直线的距离，叫做这两条平行线，之间的距离，记住d（，）；

③若直线，相交，则定义d（，）=0

④对于同一条直线，我们定义d（，）=0。

对于两点，和两条直线，，定义两点，的“，—相关距离”如下：

d（，，）=d（，）+d（，）+d（，）设（4，0），（0，3），，，，，解决以下问题：

（1）d（，，）=____________，d（，，）=_______________

（2）①若k>0，则当d（，，）最大时，k=_________；

②若k<0，试确定k的值使得d（，，）最大。

（3）若，且，，的夹角是30°，直接写出d（，，）的最大值________。

7.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

①点O的“距离坐标”为（0，0）；

②在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；

③到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．

设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

（1）画出图形（保留画图痕迹）：

①满足m=1，且n=0的点M的集合；

②满足m=n的点M的集合；

（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：

图中OI长为一个单位长）

8．阅读：

我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：

x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．例如，点M（1，3）的特征线有：

x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：

如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．

（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足

（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

9.定义：

点Z为直线XY外一点，如果存在线段XY上一点W，使得ΔXWZ与ΔWYZ相似，则称Z为XY的相似点，称W为Z在XY上的对应点。

例如，如图1，点E为正方形ABCD对角线交点，则D为直线AC外一点，且存在线段AC上一E，使得ΔAED与ΔECD相似，故D为线段AC的一个相似点，E为D在AC上的对应点。

如图2，平面直角坐标系xOy中，已知A（0,a）、B（0,10）

（1）a=2，P为线段OB的一个相似点，    

1若A是P在OB上的对应点,以下选项中，点P所有可取的坐标为     

2若A不是P在OB上的对应点，以下选项中，点P所有可取的坐标_________。

    甲：

（2,0）乙：

（4,2）丙：

（-4,2），        

丁：

（-2,4），戊：

（-5,4），己：

（-4,5） 

（2）一次函数y=x-b（b>0），若该函数图像上恰有两点为线段OB的相似点，求b.

（3）是否存在a，满足0

若存在，求a；若不存在，请说明理由。

10.给出如下定义：

若点P在图形M上，点Q在图形N上，记dmax（M，N）为线段PQ长度的最大值，dmin（M，N）为线段PQ长度的最小值，则图形M、N的平均距离

Ed（M，N）=

已知A（0,0），B（2,0），C（4,2），线段AB以每秒1个单位的速度沿着x轴正方向匀速运动.

（1）如图1，求经过1秒后，;

（2）直接写出线段AB在运动过程中Ed（C,AB）关于时间t的函数解析式；

（3）如图2，已知抛物线的一部分m：

和线段EF：

，求Ed（EF,m）.

11.我们规定：

平面内点到图形上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为R。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度：

的距离跨度；

的距离跨度；

的距离跨度；

根据中的结果，猜想到图形的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是。

（2）如图2，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直线上存在到的距离跨度为的点，求的取值范围。

（3）如图3，在平面直角坐标系中，射线，是以3为半径的圆，且圆心在轴上运动，若射线上存在点到的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围。

12.我们规定：

线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C对线段AB的视角.

如图2，在平面直角坐标系中，已知点D（0，4），E（0，1）.

（1）⊙P为过D，E两点的圆，F为⊙P上异于点D，E的一点.

①如果DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE

为_________度；

②如果点F对线段DE的视角∠DFE为60度；那么⊙P的半径为_______；

（2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G

的坐标.

13．对于图形S和图形T给出以下定义：

点P在图形S上，点Q在图形T上，则称点P与点Q的距离的最小值为图形S与图形T的距离.

在平面直角坐标系xOy中，⊙M的半径为1，且圆心M的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点.

（1）若点与⊙M的距离为，请直接写出实数的所有可能值；

（2）若点的坐标为，⊙O的半径为r，⊙O与△的距离为0，

求的取值范围；

（3）记线段与⊙M的距离为，若，求实数的取值范围.