美式期权定价的最小二乘蒙特卡洛模拟方法资料下载.pdf
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,5240所有计算结果如表.所示。
从表.可以看出，“!
%，!
，#!
”组的点数为零，因此（!
）式中的7值应该等于该组的保费水平。
在这里，我们假设费率表!
是合理的（即各组的保费水平反映了该组被保险车辆的风险水平），并且假设每组包含相同的保单数，那么可得“!
”组的保费水平的拟合值为!
&
$/%（本文省略了拟合过程）。
由此可得点数计价系统的计算公式为8#!
$/%9!
3其中3为总点数，8为应缴保费。
部分点数与保费之间的关系如表2所示。
二、结论虽然准确的点数计价系统应该建立在保险公司的实际赔付数据之上，但本文根据我国曾经使用过的机动车辆第三者责任保险的费率表为例，也充分说明了在我国机动车辆保险中实施点数计价系统的可行性，因为传统的费率表转化为点数计价系统之后所产生的差异是很小的。
在机动车辆保险中应用点数计价系统至少有下述几点好处：
（!
）在不大量增加费率表的情况下可以增加费率因子的个数，对被保险车辆进行更加精细的区分，从而使得被保险人的保费负担更加公平。
（.）便于实施无赔款优待。
当采用点数计价系统时，保险公司可以直接根据被保险车辆去年的索赔经验增减其续保时的点数。
如!
年没有发生索赔，次年续保时可以降低!
个或.个点数；
连续两年没有发生索赔，续保时可以再降低!
个或两个点数，等等。
（2）便于承保。
如果承保员认为被保险车辆的风险水平较低（如驾驶员有良好的生活习惯），而在费率表中又没有反映这一特性，那么承保员就可以适当给其降低几个点数。
（&
）保费的呈现方式非常直观，可以通过各个费率因子所对应的点数大小直接看出它对保险费率的影响程度。
（作者单位!
中国人民大学，天津财经大学）（责任编辑%亦民）表&
点数与保费之间的关系（节选）点数%!
.2&
:
1-/;
%保费（元）!
%!
1!
-!
1&
-%!
/&
;
.!
.%-由于美式期权允许期权持有人在期权到期日之前的任何时刻执行期权，我们无法用经典的7）=?
*）A公式为其定价，所以，对美式期权的定价通常只能采用数值分析的方法。
常用的期权定价数值方法有三类，包括二项式方法、有限差分方法和蒙特卡洛模拟方法。
其中，二项式方法和有限差分方法采用逆向求解的方法，可以用于为美式期权定价。
但是，这两种方法均不适合处理具有多个标的资产的期权定价问题。
这是因为当期权的标的资产不只一种时，采用二项式方法和有限差分方法会因为栅格（或节点）数量的急剧增加而变得不可行。
而且，这两种方法也无法处理期权的收益依赖于标的资产价格历史信息（即路径依赖）的期权定价问题。
与这两种方法不同，蒙特卡洛模拟方法在处理多个标的资产和路径依赖期权定价问题方面具有明显的优势。
然而，由于蒙特卡洛采用的是正向求解的方法，我们无法计算在每个时刻继续持有期权的期望收益，从而无法比较在该时刻立即执行期权的收益与继续持有期权的期望收益，进而无法决定是立即执行期权还是继续持有期权。
所以，直到几年前，人们还认为蒙特卡洛方法只适合为具有固定执行时间的欧式期权定价，而不适合为美式期权定价。
近年来，随着数理金融学的发展，出现了一些运用蒙特卡洛方法模拟美式期权定价的算法。
其中，影响最大的是由B*3+AC=?
EG0模拟方法，该方法已成为目前使用蒙特卡洛模拟美式期权定价的标准方法。
由于BG模拟方法涉及复杂的数学方法，在具体的应用中存在诸多不便和困难。
本文的目的是为BG模拟方法提供一个具体的算法实现，以使我们更好地理解和使用本方法。
下面，我们首先从算法实现的角度介绍BG模拟方法的基本原理和模拟步骤，然后给出该方法的一个用GC）G模拟方法的基本原理是：
在有限个离散的时间点上，根据标的资产价格的模拟样本路径在每个时刻的截面数据，利用最小二乘法回归求得继续持有期权的期望收益，并将其与该时刻立即执行期权的收益相比较，如果后者大于前者，则立即执行期权，否则，继续持有期权。
BG模拟方法的基本步骤如下：
首先，生成标的资产价格的样本路径。
其次，从期权到期日开始逆向求解，得到每条样本路径上的最优期权执行时间和相应的期权收益。
最后，将每条样本路径的美式期权定价的最小二乘蒙特卡洛模拟方法!
吴建祖宣慧玉IJKJKLMNOBKN知识丛林!
期）期权收益用无风险利率贴现，然后取它们的均值即得到模拟的期权价值。
下面，我们以单一标的资产美式看跌期权定价为例，说明!
#模拟方法的算法实现步骤。
第一步：
生成标的资产价格样本路径根据期权理论，我们假设期权的到期日为$，执行时间为$%，则对欧式期权而言，$%&
$，即期权只能在到期日执行；
对美式期权而言，$%!
（）$*，即期权可以在到期日前的任意时刻执行。
由于期权在执行时刻的收益不仅受到时刻标的资产价格的影响，也可能受到从期权发行日+,&
（-至到期日$之间标的资产价格所经过的路径所影响，因此，期权在执行时间$%的价值为：
.&
/01$%23.+（）4）$%）$-*+4-其中，23为风险中性测度下的期望值，1为无风险利率，（）4）$%）$为从发行日至到期日之间标的资产价格所经过的路径。
蒙特卡洛模拟就是通过随机抽样求解式+4-，从而得到期权价值的一种数值方法。
所以，运用蒙特卡洛方法模拟期权定价的第一步便是通过随机抽样生成标的资产价格的样本路径（）4）$。
假设标的资产的价格服从几何布朗运动：
5&
5,657+8-其中，59为标的资产价格的微小变动，!
为标的资产的收益率，为标的资产价格的波动率，7为维纳过程，57为维纳增量，57&
#5,!
，#服从标准正态分布。
在风险中性假设下，用1代替!
。
根据伊藤定理，可将+8-式改写为：
5:
+1088-5,657+-为了应用蒙特卡洛方法，我们需要将+=，从而由+-式可得：
4;
?
04;
04&
+1088-$,6$,!
#?
+-其中，?
A（）4）=B，#?
为服从均值为（，标准差为4的标准正态分布的随机样本。
由+-式可以得出，给定发行日的标的资产价格（，任意时刻?
A（）4）=B的标的资产价格?
由下式给定：
/CD+4;
（6?
*-+E-由+E-式可以得到标的资产价格的一条样本路径FG+（）4）$-，G!
A4）8）#B）其中，#为模拟样本路径的数量。
经过#次模拟，我们得到样本路径矩阵H#I+=64-。
第二步：
计算每条样本路径的最优执行时间和期权收益在时刻?
，看跌期权在样本路径上的内在价值JG?
+G?
-&
KLCAM0G?
）（B，其中，M为执行价格，G?
为样本路径G在执行时间?
的标的资产价格。
对于欧式期权，由于不存在提前执行，所以我们只需计算到期日各样本路径上的期权收益。
对于美式期权，由于可以提前执行，这使得我们在决定最优执行时间时，必须权衡该时刻立即执行期权的即时收益（即内在价值）与继续持有该期权的期望收益，即：
.G?
KLCAJG?
-）23/01$,.G?
64+G?
64-NG?
*B+O-其中，23/01$,.G?
*为在当前标的资产价格G?
条件下继续持有期权的期望收益，该期望收益只有通过逆向求解的方法求得，因为它依赖于下一步执行期权的决策。
换句话说，为了知道现在的最优策略，我们必须首先知道未来的最优策略，而该策略由期望收益的价值方程+O-式间接地定义。
这正是用蒙特卡洛方法模拟美式期权定价的难点所在，也是为什么过去认为蒙特卡洛方法不适合模拟美式期权定价的主要原因。
因此，直接应用+O-式进行模拟是不可行的，为此我们需要近似上述期望收益。
下面我们介绍使用!
#方法计算该期望收益的近似算法。
#方法通过回归得到一个当前标的资产价格G?
的简单的二次多项式，并用它近似+O-式中的条件期望，即：
23/01$,.G?
*L46L8G?
6LG8?
+P-我们将所有样本路径在时刻?
的价格?
作为M0值，将对应的样本路径上的未来收益作为Q0值并采用最小二乘法进行回归，求得回归系数L4）L8和L。
为了求解每条样本路径上的最优执行时间和相应的期权收益，我们从最后阶段（即到期日）开始。
在到期日，期权执行的决策很简单：
执行期权当且仅当期权是溢价的（对看跌期权，即9G=RM），此STJTJUV=W!
J=知识丛林4EO!
期）时，执行期权的收益为!
#$%&
（）*+,。
现在，我们来看时刻）&
-，即倒数第二个阶段。
如果期权在样本路径上是溢价的，即.（）&
-/%，则我们可以考虑执行期权，但是，是否真的执行期权，我们还要考虑继续持有期权至到期日的期望收益，如果它小于%&
（）&
-，则立即执行期权，否则，继续持有期权。
我们使用012式近似继续持有期权的期望价值。
由于提前执行期权的前提条件是期权在执行时刻是溢价的，所以，我们仅以那些在）&
-时刻处于溢价的样本路径为基础进行回归。
考虑那些在时刻处于溢价的样本路径的子集，我们用以下回归方程近似继续持有期权的期望收益：
345（）&
-678&
9!
（）*+,!
-;
=0（）&
-2）&
-0?
2这样，我们在进行提前执行的决策时，只需比较时刻）&
-的内在价值%&
-与继续持有期权的价值，它们均只与当前的价格有关而不必考虑未来价格（）。
同理，我们可以求得时刻）&
-*）&
=*+继续持有期权的期望收益。
对于每条样本路径（，期权要么在某个唯一的时刻:
（$+*-*）,执行，要么永远不会执行。
因此，样本路径在时刻继续持有期权的期望收益为：
345（A678&
90:
A2:
.（:
（*+,!
（A;
=0（A2A0B2其中，A是在时刻A期权处于溢价（即（A/%）的样本路径的集合。
在初始状态，我们令:
（7），在时刻）&
-，如果继续持有期权，则:
（不变；
如果执行期权，则:
（7）&
-，依此类推。
由于每条样本路径只有一个最优执行时间，我们只保存最新的:
（，最后我们便求得每条样本路径的最优执行时间。
相应地，样本路径（在最优执行时间:
（的期权收益为C（A（7!
（A（*+,。
第三步：
对每条样本路径的期权收益贴现并求均值经过D次模拟后，得到D条样本路径，以及每条样本路径上最优执行时间的期权收益C（A（7!
（A（*+,*（$-*D,。
由于每条样本路径的执行时间不同，对期权收益的贴现因子8&
9:
E也不同，所以，必须按相应的贴现因子贴现，然后求均值即得到式0-2中期望收益的一个估计值，即美式期权FD模拟的一个模拟值：
3G4C0+*-*H*H267#DI7-8&
ECE:
ED0-+2二、算例结果下面，我们给出一个由D:
JK程序运行的模拟美式看跌期权定价的算例结果。
其中，标的资产初始价格+7-+*期权执行价格%7-+*无风险利率97+L+M*到期日H7-+*标的资产价格波动率.ANO!
7+L+*离散时间区间数）7-+*模拟样本路径数D7?
具体的模拟结果见表-、表。
三、%&
算法的收敛性和计算效率FD算法的有效性包括收敛性和计算效率两个方面。
它们主要取决于基函数数目I、离散时间点数目）、样本路径数目D，以及模拟随机数的产生方法。
关于FD算法的收敛性，FPQN.:
CC和RST9:
U证明，令样本路径数目D$V，只要基函数数目I足够大，则模拟期权价值收敛于真实期权价值的领域内（为任意正数）。
此外，FD算法很重要的一个特点便是它优异的计算效率，尤其在多维（多个标的资产）美式期权定价模拟方面，与处理多维美式期权定价模拟的随机网格方法相比，该算法的计算效率高出W+多倍。
在本文的算法实现中，我们直接使用DXHFXY提供的标准正态随机数生成函数9QZQ，确保了随机数的均匀分布性和独立性。
为了提高算法的有效性和计算效率，我们采用对偶变量技术以缩减方差。
实验表明
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