优秀参赛课件 《任意角的三角函数》Word下载.docx

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四、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；

掌握并能初步运用公式一；

树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.

4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。

通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

五、教学重点和难点

重点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点:

六、教学过程设计

教学过程

一、复习引入、回想再认

（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：

这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

设计意图：

学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少.

二、引伸铺垫、创设情景

（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？

试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？

怎样推广？

针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：

请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角α安装（如何安装？

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM=x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.

根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

此处做法简单，思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.

（情景3）思考：

对于确定的角

，这三个比值是否会随点

在

的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段

的长

的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

;

.

思考：

上述锐角

的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？

本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：

引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

探索发现：

对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是

确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

三、探究新知

1.探究:

结合上述锐角

的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:

在直角坐标系中,我们称以原点

为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:

如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设

是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

那么:

（1）

叫做

的正弦（sine）,记做

即

；

（2）

的余弦（cossine）,记做

（3）

的正切（tangent）,记做

注意:

当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；

当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点

，从而就必然能够最终算出三角函数值.

初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.

四、探索定义域

（情景4）1、函数概念的三要素是什么？

函数三要素：

对应法则、定义域、值域.

正弦函数sinα的对应法则是什么？

正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：

对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→y/r=sinα.

2、布置任务情景：

什么是三角函数的定义域？

请求出三个三角函数的定义域，填写下表：

三角函数

sinα

cosα

tanα

定义域

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：

使比值有意义的角α的取值范围.

关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.

对于tanα=y/x，α=kπ+π/2时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：

{α|α∈R，且α≠kπ+π/2}.………

教师指出:

sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟。

定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.

五、符号判断、形象识记

（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？

试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

sinα=y/r：

上正下负横为0cosα=x/r：

左负右正纵为0

tanα=y/x：

交叉正负

判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.

六、练习巩固、理解记忆

1、自学例1：

求

的正弦、余弦和正切值。

2、角α的终边经过点P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.

课堂练习：

p17题1、2、3

处理：

要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：

终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终.

七、回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？

或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？

（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）

2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？

（根据定义，------）

3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？

（根据定义，想象坐标位置，-----）

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

八、布置课外作业

1．书面作业：

习题1.2第1、2题.

2．认真阅读p20“阅读与思考：

三角学与天文学”，了解三角学在天文学中的重要作用。

七、教学反思

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。

到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？

让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？

因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。

在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。

这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。

再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。

培养数形结合的思想。

点评

“任意角的三角函数的定义”这一节，是三角