数学分析教案华东师大版第一章实数集与函数.docx
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数学分析教案华东师大版第一章实数集与函数
第一章实数集与函数
导言数学分析课程简介（2学时）
一、数学分析（mathematicalanalysis）简介:
1.背景:
从切线、面积、计算、实数定义等问题引入.
2.极限（limit）——变量数学的基本运算：
3.数学分析的基本内容：
数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分（differential）和积分（integration）两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.
微积运算是高等数学的基本运算.
数学分析与微积分（calculus）的区别.
二、数学分析的形成过程：
1.孕育于古希腊时期：
在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪,Archimedes就有了积分思想.
2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.
3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.
4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点:
逻辑性很强,很细致,很深刻;先难后易,是说开头四章有一定的难度,倘能努力学懂前四章（或前四章的）,后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此,理解证明的思维方式,学习基本的证明方法,掌握叙述和书写证明的一般语言和格式,是数学分析教学贯穿始终的一项任务.
有鉴于此,建议的学习方法是:
预习,课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,补充课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后,再去做作业.在学习中,要养成多想问题的习惯.
四、课堂讲授方法:
1.关于教材及参考书:
这是大学与中学教学不同的地方,本课程主要从以下教科书中取材:
[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；
[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；
[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；
[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.
2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.
3.内容多,课时紧:
大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是同类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.
4.讲解的重点:
概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.
五.要求、辅导及考试：
1.学习方法:
尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为:
3。
对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:
要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.
2.作业:
作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容.大体上每周收一次作业,一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.
3.辅导:
大体每周一次,第一学期要求辅导时不缺席.
4.考试:
按教学大纲的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和所布置作业的内容,包括[1]中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.
第一章实数集与函数
教学目的：
1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：
理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：
函数、确界的概念及其有关性质。
教学时数：
10学时
§1实数（2学时）
教学目的：
使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：
实数集的概念及其应用．
教学方法：
讲授．（部分内容自学）
一．复习引新：
1.实数集：
回顾中学中关于实数集的定义.
2.四则运算封闭性:
3.三歧性（即有序性）:
4.Rrchimedes性:
5.稠密性:
有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义.
6.实数集的几何表示───数轴:
7.两实数相等的充要条件:
8.区间和邻域:
二.讲授新课：
（一）.几个重要不等式:
1.绝对值不等式:
定义[1]P3的六个不等式.
2.其他不等式:
⑴
⑵均值不等式:
对记
（算术平均值）
（几何平均值）
（调和平均值）
有平均值不等式:
等号当且仅当时成立.
⑶Bernoulli不等式:
（在中学已用数学归纳法证明过）
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证：
由且
⑷利用二项展开式得到的不等式:
对由二项展开式
有上式右端任何一项.
作业：
Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３） ３
§2数集确界原理（4时）
教学目的：
使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
教学要求：
1.掌握邻域的概念；
2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点：
确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：
确界的定义及其应用。
教学方法：
讲授为主。
一、区间与邻域
二、有界数集与确界原理:
1. 有界数集:
定义（上、下有界,有界），闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.
无界数集:
定义,等都是无界数集,
集合也是无界数集.
2. 确界:
给出直观和刻画两种定义.
例1⑴则
⑵则
例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
例3设和是非空数集，且有则有.
例4设和是非空数集.若对和都有则有
证是的上界,是的下界,
例5和为非空数集,试证明:
证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.
3. 数集与确界的关系:
确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.
4. 确界与最值的关系:
设为数集.
⑴的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.
⑵非空有界数集必有确界（见下面的确界原理）,但未必有最值.
⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.
三、确界原理:
Th1.1（确界原理）
设为非空数集。
若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。
作业：
Ｐ９：
５；６；８
§3函数概念（2学时）
教学目的：
使学生深刻理解函数概念。
教学要求：
1.深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；
2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。
会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：
函数的概念。
教学难点：
初等函数复合关系的分析。
一、函数:
1.函数:
[1]P10—11的四点说明.
2.定义域:
定义域和存在域.
3.函数的表示法:
4.反函数:
一一对应,反函数存在定理.
5.函数的代数运算:
二、分段函数:
以函数和为例介绍概念.
例1 去掉绝对值符号.
例2求
例3设求（答案为8）三、函数的复合:
例4求并求
定义域.
例5⑴
⑵则
A.B.C.D.
[4]P407E62.
四、初等函数:
1. 基本初等函数:
2. 初等函数:
3. 初等函数的几个特例:
设函数和都是初等函数,则
⑴是初等函数,因为
⑵和都是初等函数,
因为,
.
⑶幂指函数是初等函数,因为
作业：
P15 3；4.
（2）（3）；5.
（2）；7:
（3）；11
§4具有某些特性的函数（2学时）
教学目的：
熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.
教学目的：
深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。
教学重点：
函数的有界性、单调性。
教学难点：
周期函数周期的计算、验证。
一、有界函数:
有界函数概念.
例6验证函数在内有界.
解法一由当时,有
对总有即在内有界.
解法二令关于的二次方程有实数根.
解法三令对应于是
二、单调函数
三、奇函数和偶函数
四、周期函数
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