解一元一次方程提高篇.docx

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解一元一次方程提高篇

一元一次方程的解法（提高篇）

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称

具体做法

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

（1）不要漏乘不含分母的项

（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

（1）不要漏乘括号里的项

（2）不要弄错符号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

（1）移项要变号

（2）不要丢项

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

字母及其指数不变

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．

不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

（2）去括号一般按由向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：

此类问题一般先把方程化为的形式，分类讨论：

（1）当时，无解；

（2）当时，原方程化为：

；（3）当时，原方程可化为：

或.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，；

（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．

（2）

【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程

1．解方程：

（1）；

（2）．

【答案与解析】

解：

（1）．

移项，合并得．

系数化为1，得x＝48．

（2）15.4x+32＝-0.6x．

移项，得15.4x+0.6x＝-32．

合并，得16x＝-32．

系数化为1，得x＝-2．

【总结升华】方法规律：

解较简单的一元一次方程的一般步骤：

（1）移项：

即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项（常数项）放在等式的右边．

（2）合并：

即通过合并将方程化为ax＝b（a≠0）．

（3）系数化为1：

即根据等式性质2：

方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．

举一反三：

【变式】下列方程的解法对不对？

如果不对，错在哪里？

应当怎样改正？

3x+2＝7x+5

解：

移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7，

系数化为1得．

【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．

正确解法：

解：

移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得．

类型二、去括号解一元一次方程

2.解方程：

【答案与解析】

解法1：

先去小括号得：

再去中括号得：

移项，合并得：

系数化为1，得：

解法2：

两边均乘以2，去中括号得：

去小括号，并移项合并得：

，解得：

解法3：

原方程可化为：

去中括号，得

移项、合并，得

解得

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由到外或由外到逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：

方程左、右两边都含（x-1），因此将方程左边括号的一项x变为（x-1）后，把（x-1）视为一个整体运算．

3．解方程：

．

【答案与解析】

解法1：

（层层去括号）

去小括号，

去中括号，

去大括号，

移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．

解法2：

（层层去分母）

移项，得，

两边都乘2，得，

移项，得，

两边都乘2，得

移项，得，两边都乘2，得，

移项，得，系数化为1，得x＝30．

【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．

举一反三：

【变式】解方程．

【答案】

解：

方程两边同乘2，得，

移项、合并同类项，得，

两边同乘以3，得．

移项、合并同类项，得，

两边同乘以4，得，

移项，得，系数化为1，得x＝5．

类型三、解含分母的一元一次方程

4．解方程：

【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．

【答案与解析】

解法1：

将分母化为整数得：

约分，得：

8x-3-25x+4＝12-10x

移项，合并得：

．

解法2：

方程两边同乘以1，去分母得：

8x-3-25x+4＝12-10x

移项，合并得：

．

【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．

举一反三：

【变式】解方程．

【答案】

解：

原方程可化为．

去分母，得3（4y+9）-5（3+2y）＝15．

去括号，得12y+27-15-10y＝15．

移项、合并同类项，得2y＝3．

系数化为1，得．

类型四、解含绝对值的方程

5．解方程：

3|2x|-2＝0

【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．

【答案与解析】

解：

原方程可化为：

当x≥0时，得，解得：

，

当x＜0时，得，解得：

，

所以原方程的解是x＝或x＝．

【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解．

举一反三：

【变式】解方程|x-2|-1＝0．

【答案】

解：

原方程可化为：

|x-2|=1，当x-2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2＝1，解得x＝3；

当x-2＜0，即x＜2时，原方程变形为-（x-2）=1，解得x＝1．K]

所以原方程的解为x＝3或x＝1．

类型五、解含字母系数的方程

6.解关于的方程：

【答案与解析】

解：

原方程可化为：

当，即时，方程有唯一解为：

；

当，即时，方程无解．

【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．

举一反三：

【变式】若关于x的方程（k-4）x=6有正整数解，求自然数k的值.

【答案】

解：

∵原方程有解，∴

原方程的解为：

为正整数，∴应为6的正约数，即可为：

1，2，3，6

∴为：

5，6，7，10

答：

自然数k的值为：

5，6，7，10.

巩固练习题

一、选择题

1．关于x的方程3x+5＝0与3x+3k＝1的解相同，则k的值为（）．

A．-2B．C．2D．

2．下列说确的是（）

A．由7x＝4x-3移项得7x-4x＝-3

B．由去分母得2（2x-1）＝1+3（x-3）

C．由2（2x-1）-3（x-3）＝1去括号得4x-2-3x-9＝4

D．由2（x-1）＝x+7移项合并同类项得x＝5

3．将方程去分母得到方程6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是（）

A．分母的最小公倍数找错

B．去分母时，漏乘了分母为1的项

C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误

D．去分母时，分子未乘相应的数

4．解方程，较简便的是（）．

A．先去分母B．先去括号C．先两边都除以D．先两边都乘以

5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：

■，怎么办呢?

小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?

它应是（）．

A．1B．2C．3D．4

6.（日照）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）

A．54盏B．55盏C．56盏D．57盏

7.“△”表示一种运算符号，其意义是，若，则等于（）。

A．1　　B．　　　C．　　D．2　　

8.关于的方程无解，则是（）

A．正数　　B．非正数　　　C．负数　　D．非负数　　

二、填空题

9.（）已知方程，那么方程的解是.　

10.当x=_____时，x－的值等于2.

11．已知关于x的方程的解是4，则________．

12．若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值是．

13．已知关于的方程的解满足，则的值是____________．

14．a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算：

，那么当时，则x＝______．

三、解答题

15．解下列方程:

（1）．

（2）．

（3）。

17.如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，

其中，GH=2cm，GK=2cm，设BF=xcm，

（1）用含x的代数式表示CM=xcm，DM=2x+2cm．

（2）若DC=10cm，求x的值．

（3）求长方形ABCD的面积．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】C

【解析】方程3x+5＝0的解为，代入方程3x+3k＝1，再解方程可求出k．

2．【答案】A．

【解析】由7x＝4x-3移项得7x-4x＝-3；B．去分母得2（2x-1）＝6+3（x-3）；C．把2（2x-1）-3（x-3）＝1去括号得4x-2-3x+9＝1；D．2（x-1）＝x+7，2x-2＝x+7，2x-x＝7+2，x＝9

3．【答案】C

【解析】把方程去分母，得3（2x-1）-2（x-1）＝6，6x-3-2x+2＝6与6x-3-2x-2＝6相比较，很显然是符号上的错误．

4．【答案】B

【解析】因为与互为倒数，所以去括号它们的积为1.

5．【答案】B

【解析】设被污染的方程的常数为k，则方程为，把代入方程得，移项得，合并同类项得-k＝-2，系数化为1得k＝2，故选B．

6．【答案】B

【解析】设有盏，则有个灯距，由题意可得：

，解得：

7．【答案】B

【解析】由题意可得：

“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：

，

而，解得：

8．【答案】B

【解析】原方程可化为：

，将“”看作整体，只有时原方程才无解，由此可得均为零或一正一负，所以的值应为非正数．

二、填空

9．【答案】

10．【答案】

11．【答案】24

【解析】把x＝4代入方程，得，解得a＝6，从而（-a）2-2a＝24．

12．【答案】2或3

【解析】由题意，求出方程的解为：

　，，因为解为正整数，所以，即或．

13．【答案】或

【解析】由，得：

，即为。

当时，代入得，；当时，代入得．

14．【答案】3

【解析】由题意，得2×5-4（1-x）＝18，解得x＝3．

三、解答题

15.【解析】

解：

（1）原方程可化为：

解得：

（2）原方程可化为：

移项，合并得：

解得：

（3）原方程可化为：

去分母，化简得：

解得：

16.【解析】

解：

（1）原方程可化为：

当时，方程有唯一解：

；

当，时，方程无解；

当，时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．

（2）

当，即时，方程有唯一的解：

．

当，即时，原方程变为．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．

（3）

当时，原方程有唯一解：

；

当时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；

当时，原方程无解．

17.【解析】

解：

（1）（或3x）.

（2）.解得.

（3）从两个角度表示线段DM长度时可得：

3x=2x+2,解得.

长方形的长为：

cm,

宽为：

cm.

所以长