安徽皖南八校届高三第二次联考数学理 1.docx

安徽皖南八校届高三第二次联考数学理 1.docx

《安徽皖南八校届高三第二次联考数学理 1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽皖南八校届高三第二次联考数学理 1.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

安徽皖南八校届高三第二次联考数学理1

“皖南八校”2019届高三第二次联考

数学（理科）

一、选择题：

1.为虚数单位，，若为实数，则实数

A.-1B.C.1D.2

2.已知集合，，则

A.B.

C.D.

3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为

A.B.C.D.

4.已知为等差数列，若，则

A.18B.24C.30D.32

5.如图，在中，，，，则的值为

A.-4B.-3C.-2D.-8

6.已知函数，则不等式的解集是

A.B.C.D.

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为

A.B.C.D.

8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是

A.B.C.D.

9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）

A.B.C.D.

10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为

A.B.C.D.

11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是

A.B.C.D.

12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是

A.B.C.D.

二、填空题：

13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．

14.已知，且，则__________．

15.记为数列的前项和，，记，则__________．

16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．

三、解答题：

17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.

18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．

19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：

将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.

20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：

.

21.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数.

（二）选考题：

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）

（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；

（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.

23.已知函数.

（Ⅰ）解不等式：

；

（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.

“皖南八校”2019届高三第二次联考

数学（理科）

一、选择题：

1.为虚数单位，，若为实数，则实数

A.-1B.C.1D.2

【详解】由题意，可得

，有，故选C.

【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.已知集合，，则

A.B.

C.D.

【详解】由题意，可得，，则，故选A.

【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为

A.B.C.D.

【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：

，故选C.

【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.

4.已知为等差数列，若，则

A.18B.24C.30D.32

【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，

则，故选B.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.如图，在中，，，，则的值为

A.-4B.-3C.-2D.-8

【详解】因为，，，

所以

故选D.

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.

6.已知函数，则不等式的解集是

A.

B.

C.

D.

【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，

又由，即函数定义域上的奇函数，

又由不等式可转化为

即，即，解得，

即不等式的解集为，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为

A.B.C.D.

【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：

沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,

因此点到点的路径中，最短路径的长度为.

故选D.

【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.

8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是

A.B.C.D.

【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，

又由函数的图像关于轴对称，则，即，

解得，当时，，

此时函数，令，当时，，

所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）

A.B.C.D.

【解析】

如图所示，三棱锥中，，

则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，

△BCD是等腰直角三角形，则，

综上可得，三棱锥的体积的最大值为.

本题选择A选项.

点睛：

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．

10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为

A.B.C.D.

【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，

则点到渐近线的距离为，即，

则,

又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，

在直角中，则，即，

整理得，解得，

又由，则，即，

所以双曲线的渐近线方程为，故选A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是

A.B.C.D.

【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，

又由存在实数，，，且，

设，且，

则，即，解得，

所以，

当时，取得最小值，当时，取得最大值，

所以的取值范围是，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是

A.B.C.D.

【详解】由题意点到直线的距离为，

可得圆的方程为.

若存在这样的点，当与圆相切时，即可，

可得，得，则.

解得：

.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、填空题：

13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．

【详解】作出可行域如图：

作出直线：

，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，

如图平移过点时，.

故填1.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.

14.已知，且，则__________．

【详解】由题意有，得，

由，，有，得，

则.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15.记为数列的前项和，，记，则__________．

【答案】

【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，

故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.

【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．

【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，

由当时，，

要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，

则当时，，解得，

当当时，，解得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列