解析几何第四版习题答案第四章Word文档格式.docx
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（y
3）2
（z
2）2
即：
y2
z2
yz6y5z
3
此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点M
（
x,
z
），过M
且平行于直线
的直线方程为：
c
x0
t
y0
z0
而M0在准线上，所以
（x
1）2
（z
xyz2t20
上式中消去t后得到：
x2
y2
3z2
2xy
8
x8y
8z
26
而M0在准线上，所以：
y2
（z2t）2
2（z
2t）
消去t，得到：
4x2
4
xz
20
10z
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线
z,x
1
1,与x
z2的圆柱面方程。
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过
又过准线上一点M1（x1,y1,z1），且方向为1,1,1的直线方程为：
xx1tx1xt
yy1ty1yt
zz1tz1zt
将此式代入准线方程，并消去t得到：
5（x2y2z2xyyzzx）2x11y13z0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为（u）x（u）,y（u）,z（u），母线的方向平行于矢量SX,Y,Z，
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
xY（u）vS
与
xx（u）Xv
yy（u）Yv
zz（u）Zv
式中的u,v为参数。
证明：
对柱面上任一点M（x,y,z），过M的母线与准线交于点M（x（u）,y（u）,z（u）），则，
MMvS
即
1、求顶点在原点，准线为x22z10,yz10的锥面方程。
设为锥面上任一点M（x,y,z），过M与O的直线为：
XYZ
xyz
设其与准线交于（X0,Y0,Z0），即存在t，使X0xt,Y0yt,Z0zt，将它们代入准线
方程，并消去参数t，得：
x22z（zy）（zy）20
x2y2z20
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为（3,1,2），准线为x2y2z21,xyz0，试求它的方程。
设M（x,y,z）为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
X
Y
Z
令它与准线交于（X
Y,Z
），即存在
，使
X0
3）t
Y0
!
）t
Z0
2）t
将它们代入准线方程，并消去
t得：
3x2
5y2
7z2
6xy
2yz
10xz
4x4y4z40
此为要求的锥面方程。
4、求
对锥面上任一点
M（x,y,z），过M与顶点O的母线为：
令它与准线的交点为
（X0,Y0,Z0），即存在t，使X0xt,Y0
yt,Z0zt，将它们代入
准线方程，并消去
xy
yzzx
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为（1,2,4），轴与平面2x2yz0垂直，且经过点（3,2,1）的圆锥面的方程。
轴线的方程为：
x1y2z4
221
过点（3,2,1）且垂直于轴的平面为：
2（x
3）
2（y
2）
（z1）
2x
2y
11
该平面与轴的交点为
37），它与（3,2,1）
的距离为：
9
d
（11
（20
2）2
（37
1）2116
要求圆锥面的准线为：
的径矢为0
x0,y0,z0
，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
r
uuuur
uur
v（u）
（1
v）0
vx（u）
v）x0
vy（u）
v）y0
vz（u）
（1v）z0
式中，u,v为参数。
证明：
对锥面上任一点M（x,y,z），令OM
，它与顶点A的连线交准线于
M
uuuuruuuur
（x（u）,y（u）,z（u）），即OM
（u）。
uuuuur
0（顶点不在准线上）
QAM//AM，且AM
AM
vAM
v（
（u）
0）
亦即
v）
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
{x,y,z}v{x（u）,y（u）,z（u）}（1v）{x0,y0,z0}
v）x0
vz（u）（1v）z0
此为锥面的坐标式参数方程，
u,v为参数。
4.3
旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
x1
y1z1绕x
z1旋转
（2）；
xy
z1绕x
（3）x
z绕z轴旋转；
（4）空间曲线
x2
绕z轴旋转。
（1）设M1（x1,y1,z1）是母线x
1z
1上任一点，过
M1的纬圆为：
x1）
y1）
2（z
z1）
（1）
（z1）2
x12
y1
（z11）2
（2）
因M1在母线上，
x1
z1
（3）
从
（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
5x2
5y2
23z2
12xy
24yz
24xz
24x24y
46z230
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