一元二次方程根与系数关系中考难题突破Word文件下载.docx
《一元二次方程根与系数关系中考难题突破Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程根与系数关系中考难题突破Word文件下载.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
=（a+B）2—2aB=18令a?
+3B2+4B=A
22B+3a+4a=B
•A+B=4（a2+「）+4（a+B）=4X18+4X（-2）=64①
A—B=2（B—a）+4（B—a）=2（B+a）（B—a）+4（B—a）=0②
①+②得：
2A=64•A=32
请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题
（2）已知X1、X2是方程x2—X—9=0的两个实数根，求代数式。
32
X1+7x2+3x2—66的值。
解•/X1、X2是方程X2—x—9=0的两根
•X1+X2=1X1—X1—9=0x2—X2—9=0
即x12=X1+9x22=X2+9
32
/.xi+7x2+3x2—66=xi（x1+9）+7（X2+9）+3x2—66
2
=x1+9x1+10x2—3=x1+9+9x1+10x2—3=
10（x1+x2）+6=16
例2已知a+a2—1=0,b+b2—1=0,b,求ab+a+b的值.
分析：
显然已知二式具有共同的形式：
x+x—1=0.于是a和b可视为该一元二次方程的两个根.再观察待求式的结构,容易想到直接应用韦达定理求解.
解：
由已知可构造一个一元二次方程x2+x—仁0,其二根为a、b.由韦达定理，得a+b=—1,a•b=—1.
故ab+a+b=—2.
二、先恒等变形,再应用韦达定理
若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a・b形式的式子，则可考虑应用韦达定理.
例3若实数x、y、z满足x=6—y,z2=xy—9．求证：
x=y．
证明：
将已知二式变形为x+y=6,xy=z2+9．
由韦达定理知x、y是方程u2—6u+（z2+9）=0的两个根．
vx、y是实数，「•△=36—4z2—36>
0.
则z2<
0,又•••z为实数,
Z=0,即厶=0.
于是，方程u2—6u+（z2+9）=0有等根，故x=y.
例4已知，+3x-8=0f护+3y-3=0.求工+工的值hy
由已知二式，易知x、y是t2+3t—8=0的两个根，由韦达定理
知世+歹=一％即=一&
于是，2+-=-_芒=-_-~F_■-
Kyxy_甘
三、已知一元二次方程两根的关系（或系数关系）求系数关系（或求两根的关系），可考虑用韦达定理例5已知方程x2+px+q=0的二根之比为1:
2,方程的判别式的值
为1.求p与q之值，解此方程.
设x2+px+q=0的两根为a、2a,则由韦达定理，有a+2a=—P,①a•2a=q,②
P—4q=1.③
把①、②代入③，得（—3a）2—4X2a2=1,即9a2—8a2=1,于是a=±
1.
当目=1时.解得F产［丫
方程为x—3x+2=0或x+3x+2=0.
解得x1=1,x2=2,或x1=—1,x2=—2.
例6设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差，求证：
p=q或p+q=—4.
设方程x+px+q=0的两根为a、B,x+qx+P=0的两根为a，、,.
由题意知a—B=a，—B'
故有a2—2ap+B?
=a/2—2a
从而有（a+p）—4ap=（a，+B，）—4a7^7.®
把②代入①，有p2—4q=q2—4p,即卩p2—q2+4p—4q=0,即（p+q）（p
—q）+4（p—q）=0,即（p—q）（p+q+4）=0.
故p—q=0或p+q+4=0,
即p=q或p+q=—4.
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理
22
例7m为问值时，方程x2+mx—3=0与方程x2—4x—（m—1）=0有一个公共根？
并求出这个公共根.
设公共根为a,易知，原方程x+mx—3=0的两根为a、—m—a；
X—4x—（m—1）=0的两根为a、4—a.
由韦达定理,得a（m+a）=3,①
a（4—a）=—（m—1）.②
由②得m=1—4a+a,③
把③代入①得a—3a+a—3=0,
即（a—3）（a2+1）=0.
Ta2+1>
0,「.a—3=0即a=3.
把a=3代入③，得m=—2.
故当m=—2时,两个已知方程有一个公共根,这个公共根为3.
课堂练习：
1.已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根，yi、y2是关于y的方程y2+（2—b）y+4=0的两个根。
求以•yi、；
y2为根的一元二次方程。
2.已知关于x的方程x2—2k4x+k=0有两个不相等的实数
根。
（1）求k的取值范围
（2）化简|—k—2|+卞4k4
3.已知关于x的方程（a2—1）x2+2（a+2）x+1=0有实数根。
求a的取值范围。
（提示：
分a2—1=0,a2—1工0讨论）
4.已知关于x的方程x2—2（k+1）x+k2+2k—1=0①
（1）求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。
（2）如果a是关于y的方程y—（x1+X2—2k）y+（x1—k）（x2—k）
丄_a_=0②的根。
其中X1、2是方程①的两根求代数式（a—a1）
4a21
—a1•a的值。
课后巩固
（1）基础练习
1
1.已知方程2x2—2ax+2（a+4）a=0的两实根分别为xi、X2且满足（xi
109
—1）（x2—1）=100，求a的值。
2.关于x的方程x2—（5k+1）x+k2—2=0是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4,若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。
3.设a、B是方程X2+10x+2=0的两根，不解方程，求的值。
4.已知关于x的方程k2x2+（2k—1）x+1=0有两个不相等的实数根
Xi、X2。
（1）求k的取值范围。
（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？
如果存在求出k的值。
如果不存在，请说明理由。
（1）根据题意，得△=（2k—1）2—4k2>
0的解得k<
4.
•••当k<
4时，方程有两个不相等的实数根。
（2）存在如果方程的两实数根Xi、X2互为相反数，则Xi+X2
2k1
=—=0①
丄丄
解得k=2,经检验k=2是方程①的解。
丄
.•.当k=2时，方程的两实数根X1、X2互为相反数。
读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，
并直接写出正确答案
5.如图已知厶ABC中，/ACB=90°
CD丄AB于D,若ADBD的长是关于x的方程x2+px+q=0的两根，且tgA—tgB=2,CD=1,求p、q的值，并解此二次方程
（2）能力提升题
1.关于x的方程x2—（2a—1）x+（a—3）=0.
（1）求证：
无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。
（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三
.35
角形斜边上的中线长为2，求实数a的值。
a
2.已知方程5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0且ab^1求b的值。
3.已在△ABC勺两边ABAC的长是关于x的一元二次方程x2—（2k+
3）x+k+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。
（1）k为何值时，△ABC是以BD为斜边的直角三角形。
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
（3）思维拓展题
已知xi、X2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根。
（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）-成立？
若存在，
求出k的值；
若不存在，请说明理由
（2）求使竺竺2的值为整数的实数k的整数值。
信息反馈：
学生今日表现：
老师寄语：
升级会员 