考研数据结构图的必背算法及知识点Word格式文档下载.docx
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1.4解决方案：
两种常用的构造最小生成树的算法：
普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质
1.普里姆（Prim）算法：
有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O（N^2）
假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
设置两个新的集合U和T，其中
集合U（顶点集）用于存放G的最小生成树中的顶点，
集合T（边集合）存放G的最小生成树中的边。
T，U的初始状态：
令集合U的初值为U＝{u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T＝{}。
Prim算法的思想是：
从所有u∈U，v∈V－U的边中，选取具有最小权值的边（u，v）∈E，将顶点v加入集合U中，将边（u，v）加入集合T中，如此不断重复，直到U＝V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树的所有边。
Prim算法可用下述过程描述，其中用wuv表示顶点u与顶点v边上的权值。
（1）U＝{u1},T={};
（2）while（U≠V）do
（u，v）＝min{wuv；
u∈U，v∈V－U}
T＝T＋{（u，v）}
U＝U＋{v}
（3）结束。
按照Prim方法，从顶点1出发，该网的最小生成树的产生过程如图：
为实现Prim算法，需设置两个辅助closedge，用来保存U到集合V－U的各个顶点中具有最小权值的边的权值。
对每个Vi∈（V-U）在辅助数组中存在一个相应的分量closedge[i-1],它包括两个域：
typedefstructArcNode
{
intadjvex;
//adjex域存储该边依附的在U中的顶点
VrTypelowcost;
//lowcost域存储该边上的权重
}closedge[MAX_VERTEX_NUM];
显然：
初始状态时，U＝{v1}（u1为出发的顶点）,则到V-U中各项中最小的边，即依附顶点v1的各条边中，找到一条代价最小的边（u0，v0）=（1，3）为生成树上一条边。
同时将v0（=v3）并入集合U中。
然后修改辅助数组的值。
1）将closedge[2].lowcost=0；
//表示顶点V3三已经并入U
2）由于边（v2,v3）的权值小于closedge[1].lowcost，故需修改closedge[1]为边（v2,v3）及其权值，同理修改closedge[4]，closedge[5].
closedge[1].adjvex=3.
closedge[1].lowcost=5.
closedge[4].adjvex=1.
closedge[4].lowcost=5.
closedge[5].adjvex=3.
closedge[5].lowcost=6.
以此类推，直至U=V;
下图给出了在用上述算法构造网图7.16的最小生成树的过程中：
Prim算法实现：
按照算法框架:
当无向网采用二维数组存储的邻接矩阵存储时，Prim算法的C语言实现为：
?
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//记录从顶点集U到V—U的代价最小的边的辅助数组定义：
//struct{
//VertexTypeadjvex；
//VRTypelowcost；
//}closedge[MAX_VERTEX_NUM]
voidMiniSpanTree_PRIM（MGraphG，VertexTypeu）{
//用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T，输出T的各条边。
k=LocateVex（G，u）；
for（j=0；
j<
G.vexnum；
++j）
if（j!
=k）closedge[j]={u,G.arcs[k][j].adj};
//{adjvex,lowcost}
closedge[k].lowcost=0；
//初始，U={u}
for（i=1；
i<
++i）{//选择其余G.vexnum-1个顶点
k=minimum（closedge）；
printf（closedge[k].adjvex,G.vexs[k]）;
//输出生成树的边
//第k顶点并入U集
closedge[k].lowcost=0;
for（j=0;
G.vexnum;
if（G.acrs[k][j].adj<
closedge[j].lowcost）closedge[j]={G.vexs[k],G.arcs[k][j].adj};
}//for
}//MiniSpanTree
假设网中有n个顶点，则第一个进行初始化的循环语句的频度为n，第二个循环语句的频度为n-1。
其中有两个内循环：
其一是在closedge[v].lowcost中求最小值，其频度为n-1；
其二是重新选择具有最小代价的边，其频度为n。
由此，普里姆算法的时间复杂度为O（n2），与网中的边数无关，因此适用于求边稠密的网的最小生成树。
2.克鲁斯卡尔（Kruskal）:
由点到线，适合边稀疏的网。
时间复杂度：
O（e*loge）
Kruskal算法是一种按照网中边的权值递增的顺序构造最小生成树的方法。
基本思想是：
1）设无向连通网为G＝（V，E），令G的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T由图G中的n个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T中各顶点各自构成一个连通分量。
2）在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量，则将此边加入到T中，否则舍弃此边而选择下一条边（若该边依附的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路）。
依此类推，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
按照Kruskal方法构造最小生成树的过程如图所示：
在构造过程中，按照网中边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取的边集中权值最小的边。
依据生成树的概念，n个结点的生成树，有n－1条边，故反复上述过程，直到选取了n－1条边为止，就构成了一棵最小生成树。
Kruskal算法的实现：
算法的框架：
构造非连通图T＝（V，{}）
k=i=0；
//k为边数
while（k《<
n-1）{
i++;
检查边E中第i条边的权值
最小边（u，v）
若（u，v）加入T不是T产生回路，
则（u，v）加入T，且k++
}
c语言实现：
C语言实现Kruskal算法，其中函数Find的作用是寻找图中顶点所在树的根结点在数组father中的序号。
需说明的是，在程序中将顶点的数据类型定义成整型，而在实际应用中，可依据实际需要来设定。
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typedefintelemtype;
typedefstruct{
elemtypev1;
elemtypev2;
intcost;
}EdgeType;
voidKruskal（EdgeTypeedges[]，intn）
/*用Kruskal方法构造有n个顶点的图edges的最小生成树*/
{intfather[MAXEDGE];
inti,j,vf1,vf2;
for（i=0;
n;
i++）father[i]=-1;
i=0;
j=0;
while（i<
MAXEDGE&
&
n-1）
{vf1=Find（father,edges[i].v1）;
vf2=Find（father,edges[i].v2）;
if（vf1!
=vf2）
{father[vf2]=vf1;
j++;
printf（“%3d%3d\n”,edges[i].v1,edges[i].v2）;
}
//find函数
intFind（intfather[]，intv）
/*寻找顶点v所在树的根结点*/
{intt;
t=v;
while（father[t]>
=0）
t=father[t];
return（t）;
2.AOV网与拓扑排序：
由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑排序。
建立模型是AOV网
2.1．AOV网（Activityonvertexnetwork）
所有的工程或者某种流程可以分为若干个小的工程或阶段，这些小的工程或阶段就称为活动。
若以图中的顶点来表示活动，有向边（弧）表示活动之间的优先关系，则这样活动在顶点上的有向图称为AOV网（ActivityOnVertexNetwork）。
在AOV网中，若从顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i是顶点j的前驱，或者称顶点j是顶点i的后继。
若<
i,j>
是图中的弧，则称顶点i是顶点j的直接前驱，顶点j是顶点i的直接后驱。
AOV网中的弧表示了活动之间存在的制约关系。
例如，计算机专业的学生必须完成一系列规定的基础课和专业课才能毕业。
学生按照怎样的顺序来学习这些课程呢？
这个问题可以被看成是一个大的工程，其活动就是学习每一门课程。
这些课程的名称与相应代号如表所示。
课程之间的优先关系图：
该图的拓扑有序系列：
注意：
在AOV
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