空间向量及其运算提高学案Word格式文档下载.docx
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4、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：
（1）向量a与b相等，记作a=b;
（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关
5、共线向量与平行向量关系
（1）平行向量的定义:
1方向相同或相反的非零向量叫平行向量:
2我们规定0与任一向量平行.
（2）向量a、b、
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）
6、实数与向量的积：
实数A与向量a的积是一个向量，记作：
Aa
⑺乙＞0时Aa与a方向相同；
Z＜0时A~a与a方向相反；
Z=0时A■a='
（3）运算定律入（卜了）=（AP）a,（A+4）7=卩?
A/?
+"
?
）=几屈.
体系搭建
1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
a，设j（单位正交基底）为坐标向量,
空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量
444^
则存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3），使a=亦+a2j+a3k，有序实数组（a1,a2,a3）叫作向量a在空间直
一一、T
角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1,a2,a3）.在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在
唯一的有序实数组（x,y,z），使OA=xF+yj+zk，有序实数组（x,y,z）叫作向
量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A（x,y,z）,x叫横坐标，y叫
纵坐标，z叫竖坐标.
k
Oj
z
A（x,y,;
）
2、空间向量的直角坐标运算律
44
（1）若a=（ai,a2，a3）,b=（bib'
R）,
则a+b=@1+h,a2+b2,a3+b3）,
444
a—b=（ai—b,a2—b2,a3—b3），几a=（几几a3）（）点R）,
T4,,，—
a//buai=,32=,a^—几bs（几匚R）,
（2）若A（Xi,yi,Zi）,B（X2,y2,Z2），则AB=化—心丫2-％,乙2—乙）.
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
…4,b"
a1
（3）a//bub—kau^b^—/心？
仏
]lp3=后3
R）
3、空间向量直角坐标的数量积
1、设a,b是空间两个非零向量，我们把数量Ia||b|cosva,b＞叫作向量a,b的数量积，记作a"
b,
即ab=|a||bIcosca’bA规定：
零向量与任一向量的数量积为
0。
2、模长公式
|a|=J：
a=^JX7
+X2+X3
3、两点间的距离公式：
若A（xi,yi,z,），B（X2,y2,Z2），
则|AB|=JaB"
=—X1）2+（y2—y"
2+（Z2—Z1）2,
或dA,B=J（X2-X1）2+（y2—y1）2+（Z2-Z1）2.
②|?
12=
空间向量数量积的性质：
①aeTa|cosca,e〉.
6、运算律
①ab=ba；
②（Za厂b=A（b£
）；
③a，（b+c）=a“b+ac
4、直线的方向向量及平面的法向量
1、直线的方向向量：
我们把直线
I上的向量e以及与e共线的向量叫做直线I的方向向量
2、平面的法向量：
如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面
a,则称这个向量垂直于平面a,
记作n丄a，
如果n丄a,那么向量n叫做平面
a的法向量。
I为平面a的法线;
注：
①若丨丄a,则称直线
2平面的法向量就是法线的方向向量。
3给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。
3、在空间求平面的法向量的方法：
（1）直接法：
找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。
（2）待定系数法：
建立空间直接坐标系
4
①设平面的法向量为n=（X,y,z）
44
a=（为，％,乙）和b=（X2,y2,Z2）
3建立方程组：
«
3厂0
[nb=0
4解方程组，取其中的一组解即可。
5、证明
1、证明两直线平行
已知两直线a和b,A,B＜：
a,C,D＜：
b,则a//b=存在唯一的实数几使才=aCD"
2、证明直线和平面平行
（1）已知直线a®
a,A,B迂a,C,D,E迂a且三点不共线,
则a//a=存在有序实数对k,卩使AB=）2。
+ACE
3、证明两个平面平行
已知两个不重合平面a,P,法向量分别为m,n,则a//P
4、证明两直线垂直
考点一：
空间向量的线性运算
例2、若向量MA、MB、MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系
（。
是空间任一点），则能使向量MA、MB、MC成为空间一组基底的关系是（）
OG=xOA+yOB+zOC，则（x,y,z）为（
考点二：
空间向量的坐标表示
x=
A.1
例2、若a=（2,3,m）,b=（2n,6,8）且a,b为共线向量，则m+n的值为（
A.7
例3、三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直且相等，点P,Q分别是线段BC和OA上移动，且满足
11
BP<
-BC-AQ<
-AO，贝UPQ和OB所成角余弦值的取值范围是（
22
石2（5A.[
1、厶、厶、丿6丁2
35］B.［亍丁］C.肓,〒D.［匚匚］
考点四：
空间向量在立体几何中的简单运用
例1、P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB=（2,-1,—4）,AD+（4,2,0）,
丽=（-1,2,-1）,求证PA垂直平面ABCD.
例2、设O是正三棱锥P—ABC的底面"
ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长
+丄+丄（）PRPS
1
线分别交于Q、R，则—
PQ
DCDP所在直线分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为
实战演练
课堂狙击
1、若A（1,-2,1）,B（4,2,3）,C（6,-9,4）,则^ABC的形状是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C•钝角三角形D•等腰三角形
2、点B是点A（1，2，3）在坐标平面
yOz内的射影，则0B等于（
A.J13B
-2/3
413
3、若a=（220）,b=（1,3,z）,ca,b
兀
〉=—
3
，则z等于（
A.a/22
B.
-V22
C.
D.
±
^/42
4、已知向量
=（—1,x,3）,b=（2,
一4,y）,且a//b,
那么X+y等于（
A.
-4
-2
5、若点
A（x,5
—x,2X—1）,
B（1,x+2,2-X），当|AB|取最小值时,
x的值等于（）.
A.19
19
14
6、已知向量Ot（k,12,1）,Ot（4,5,1）,OC十k,10,1）,且A、
C三点共线，则k=
7、若角2,3,-1）,.2,1,3），则a,b为邻边的平行四边形的面积为
8、已知正方形ABCD勺边长为4,CGI平面ABCDCG=2,E,F分别是
的距离为
AB,AD的中点，则点C到平面GEF
9、已知空间中三点A（-2,0,2）,B（-1,1,2）,C（-3,0,4），设a=AB,b=AC.
（1）求向量a与向量b的夹角的余弦值;
（2）若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值
课后反击
1、在正三棱柱ABC—ABiG中，已知AB=2,cCi=J2,则异面直线AB和BC所成角的正弦值为（）
A.1
C-2
2、已知点A（1,-2,0）和向量a=（-3,4,12）,若向量AB//a,且AB=2同，则
B点的坐标为
A.（-5,6,24）
B.（-5,6,24）或（7,-10,-24）
C.（-5,16,-24）
.（-5,16,-24）或（7,-16,24
3、在以下三个命题中，真命题的个数是（
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则
c共面;
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,
则a、b共线;
③若a、b是两个不共线的向量,
且c=Aa+Ab（兀,》＜^R，沖H0）,则｛a,b,J构成空间的一个基底.
A.0
B.1
D.3
4、下列各组向量中不平行的是（
A.a=（1,2,—2）,b=（—2,—4,4）
4*
c=（1,0,0）,d=（-3,0,0）
g=（—2,3,5）,h=（16,24,40）
C.e=（2,3,0）,f=（0,0,0）
5、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为
60。
，那么|a+3b等于（）
正六边形ABCDEF的中心，
6、已知P是正六边形ABCDEF
TTTTTT
PA+PB+PC+PD+PE+PF等于（）
A.PO
.3POC
11
"
5
B,C四点共面，则
7、如图，在正方体
ABCD—ABC1D1中，若BQ=xAD+yAB+zAA1，贝U
6
/\
/
X+y+z的值为（
1U
■■>
A.3
B.1
h*■
i\
1h
Ll・・
C.-1
D.-3
m\
J-I
JT
7
C
（1）若（kl+b）//G-3b），求实数k的值
（2）若（kl+b）1（a-3b），求实数k的值.
重点回顾
1空间向量的概念
相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
表示方法：
用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量说明：
①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；
②平面向量
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