《电磁场与电磁波》课后习题解答第五章.docx
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《电磁场与电磁波》课后习题解答第五章
《电磁场与电磁波》课后习题解答（第五章）
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习题及参考答案
5.1一个点电荷Q与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？
解：
用镜像法计算。
导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。
当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为
静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力
在移动过程中，外力f所作的功为
当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。
也可以用静电能计算。
在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：
移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。
因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为。
5．2一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
解：
需要加三个镜像电荷代替
导体面上的感应电荷。
在（-a，d）
处，镜像电荷为-q，在（错误！
链接无效。
）处，
镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜
像电荷为-q。
图5-1
5．3证明：
一个点电荷q和一个带有电
荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为
其中D是q到球心的距离（D＞R）。
证明：
使用镜像法分析。
由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。
在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q＇=-Rq/D；在球心处，镜像电荷为。
点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即
5．4两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D和-D。
（1）证明：
镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。
（2）令Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。
解：
（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。
在球内应该加上两个镜像电荷：
一个是Q在球面上的镜像电荷，q1=-aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q在球面上的镜像电荷，q2=aQ/D，距离球心b1=-a2/D。
当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为
（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。
设+Q和-Q位于坐标z轴上，当Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变时，由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。
均匀场的大小为，方向在-ez。
由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算：
5．5接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。
·
·
·
·
·
d
q
b
q2
q3
-b
-d
q1
a
z
解：
计算导体上方的电位时，要保持
导体平板部分和半球部分的电位都为
零。
先找平面导体的镜像电荷q1=-q，
位于（0，0，-d）处。
再找球面镜像
电荷q2=-aq/d，位于（0，0，b）处，
b=a2/d。
当叠加这两个镜像电荷和原电
荷共同产生的电位时，在导体平面上和图5-5
球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q3=aq/d，位于（0，0，-b）处。
这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。
而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。
导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即
其中
5．6求截面为矩形的无限长区域（0四壁的电位为
解：
由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即
在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即
将基本解进行线性组合，得
待定常数由x=a处的边界条件确定，即
使用正弦函数的正交归一性质，有
化简以后得
=
求出系数，代入电位表达式，得
5．7一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y→∞，φ→0，底部的电位为
求槽内的电位。
解：
由于在x=0和x=a两个边界的
电位为零，故在x方向选取周期解，
且仅仅取正弦函数，即
图5-7
在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y→∞时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为
由基本解的叠加构成电位的表示式为
待定系数由y=0的边界条件确定。
在电位表示式中，令y=0，得
当n为奇数时，，当n为偶数时，。
最后，电位的解为
5．7若上题的底部的电位为
重新求槽内的电位。
解：
同上题，在x方向选取正弦函数，即，在y方向选取。
由基本解的叠加构成电位的表示式为
将y=0的电位代入，得
应用正弦级数展开的唯一性，可以得到n=3时，，其余系数，所以
5．9一个矩形导体槽由两部分构成，如图5-9所示，两个导体板的电位分别是U0和零，求槽内的电位。
解：
将原问题的电位看成是两个电
位的叠加。
一个电位与平行板电容
器的电位相同（上板电位为U0，下
板电位为零），另一个电位为U，即
图5-9
其中，U满足拉普拉斯方程，其边界条件为
y=0,U=0
y=a,U=0
x=0时,
x→∞时，电位U应该趋于零。
U的形式解为
待定系数用x=0的条件确定。
化简以后，得到
=
只有偶数项的系数不为零。
将系数求出，代入电位的表达式，得
5．10将一个半径为a的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半（0<Ф<π）接电压U0，下半（π<Ф<2π）电位为零，如图5-10，求管内的电位。
解：
圆柱坐标的通解为
由于柱内电位在r=0点为有限值，
通解中不能有lnr和r-n项，即有
柱内电位是角度的周期函数，A0=0。
因此，该题的通解取为图5-10
各项系数用r=a处的边界条件来定。
柱内的电位为
5．11半径为无穷长的圆柱面上，有密度为的面电荷，求圆柱面内、外的电位。
解：
由于面电荷是余弦分布，所以柱内、外的电位也是角度的偶函数。
柱外的电位不应有项。
柱内、外的电位也不应有对数项，且是角度的周期函数。
故柱内电位选为
柱外电位选为
假定无穷远处的电位为零，定出系数。
在界面r=a上，
即
解之得
最后的电位为
5．12将一个半径为a的导体球置于均匀电场E0中，求球外的电位、电场。
解：
采用球坐标求解。
设均匀电场沿
正z方向，并设原点为电位零点（如
图5-12）。
因球面是等位面，所以在
r=a处，φ=0；在r→∞处，电位应是
φ=-E0rcosθ。
球坐标中电位通解具图5-12
有如下形式：
用无穷远处的边界条件r→∞及φ=-E0rcosθ，得到，
A1=-E0,其余An=0。
再使用球面上（r=a）的边界条件：
上式可以改写为
因为勒让德多项式是完备的，即将任意的函数展开成勒让德多项式的系数是惟一的，比较上式左右两边，并注意，得，即，其余的。
故导体球外电位为
电场强度为
r
·
Ф
E0
x
5．13将半径为a、介电常数为ε的无限长介质圆柱放置于均匀电场E0中，设E0沿x方向，柱的轴沿z轴，柱外为空气，如图5-13，求任意点的电位、电场。
解：
选取原点为电位参考点，用
表示柱内电位，表示柱外电位。
ε
ε0
在r→∞处，电位因几何结构和场分
布关于y=0平面对称，故电位表示图5-13
式中不应有的正弦项。
令
因在原点处电位为零，定出A0=0，Bn=0。
用无穷远处边界条件r→∞及=-E0rcosФ，定出C1=-E0，其余C0=0。
这样，柱内、外电位简化为
再用介质柱和空气界面（r=a）的边界条件=及，得
比较左右n=1的系数，得
解之得
比较系数方程左右n>1的各项，得
由此解出。
最终得到圆柱内、外的电位分别是
电场强度分别为
5．14在均匀电场中，设置一个半径为a的介质球，若电场的方向沿z轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为ε，球外为空气）。
解：
设球内、外电位解的形式分别为
选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中，.在r→∞处，电位，则球外电位系数中，仅仅不为零，，其余为零。
因此，球内、外解的形式可分别简化为
再用介质球面（r=a）的边界条件=及，得
比较上式的系数，可以知道，除了n=1以外，系数、均为零，且
由此，解出系数
最后得到电位、电场：
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