详细解析1991年全国高考数学理科.docx

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详细解析1991年全国高考数学理科

（详细解析）1991年全国高考数学理科

1991年全国高考数学（理科 ）试题

考生注意：

本试题共三道大题（26个小题），满分120分．

一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分．每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）

1．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题设，所以．

2．焦点在，顶点在的抛物线方程是

A．　B．C．　

5．函数的图象的一条对称轴的方程是

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】对称轴的方程满足，则，显然时．

6．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的

A．垂心B．重心C．外心D．内心

【答案】D

【解析】由题设可知点到三边的距离相等，所以是的内接圆的圆心．

7．已知是等比数列，且，那么的值等于

A．5B．10C．15D．20

【答案】A

【解析】设公比为，则由题设可得，即，则

，即．

8．如果圆锥曲线的极坐标方程为，那么它的焦点的极坐标为

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】曲线是椭圆，当时得时得，∴，故焦点的极坐标为．

9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有

A．140种B．84种C．70种D．35种

【答案】C

【解析】直接法：

．

间接法：

．

10．如果且，那么直线不通过

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】，由于且，所以，故D正确．

11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

【答案】A

【解析】由题意，乙甲，丙乙，但乙丙，从而可得甲丙，丙甲．

12．的值等于

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】

．

13．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上

是

A．增函数且最小值为B．增函数且最大值为

C．减函数且最小值为D．减函数且最大值为

【答案】B

【解析】若，则，是增函数的最大值为

．

14．圆上到直线的距离为的点共有

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离为，故与直线平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．

15．设全集为，，，那

么集合等于

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题设，则，

．

二．填空题：

本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．

16．的值是．

【答案】

【解析】由于，所以．

17．不等式的解集是．

【答案】

【解析】，得，解得解集是．

18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于．

【答案】

【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为，故正三棱台的体积为．

19．在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项．若实数，

那么．

【答案】

【解析】由题设可得的系数分别为，则

，化简得，由于，所以．

20．在球面上有四个点，如果两两互相垂直，且，

那么这个球面的面积是．

【答案】

【解析】因为球的直径等于以为棱的长方体的对角线的长，从而，故球面的面积为．

三．解答题：

本大题共6小题；共60分．

21．（本小题满分8分）

求函数的最小值，并写出使函数取最小值的的集合．

【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．

——1分

——3分

．——5分

当时取得最小值．——6分

使取最小值的的集合为．——8分

22．（本小题满分8分）

已知复数，求复数的模和辐角的主值．

【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．

——2分

．——4分

的模．

因为对应的点在第四象限且辐角的正切，

所以辐角的主值．——8分

23．（本小题满分10分）

已知是边长为4的正方形，分别是的中点，垂直于所在的平面，且．求点到平面的距离．

【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．

如图，连结，分别交于．因为是正方形，分别为和的中点，故，为的中点．

不在平面上．否则，平面和平面重合，从而点在平面上，与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知平面，所以和平面的距离就是点到平面的距离．——4分

∵，∴．

∵平面，∴，

∴平面．

∴平面平面，是这两个垂直平面的交线．——6分

作交于点，由两平面垂直的性质定理知平面，所以线段的长就是点到平面的距离．——8分

∵正方形的边长为4，，

∴．

∴在中，．

由于和有一个锐角是公共的，故．

∴．

即点到平面的距离为．——10分

注：

未证明“不在平面上”不扣分．

【编者注】本题用“等积代换”，即亦可．

24．（本小题满分10分）

根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．

证法一：

在上任取且，——1分

则——3分

∵，∴．——4分

当时，有；——6分

当时，有；

∴．——8分

即．

所以，函数在上是减函数．——10分

证法二：

在上任取且，——1分

则．——3分

∵，∴．——4分

∵不同时为零，∴．

又∵，∴，

∴．——8分

即．

所以，函数在上是减函数．——10分

25．（本小题满分12分）

已知为自然数，实数，解关于的不等式

．

【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．

利用对数换底公式，原不等式左端化为

故原不等式可化为．①

当为奇数时，，不等式①等价于．②

因为，②式等价于

——6分

因为，，

所以，不等式②的解集为．——8分

当为偶数时，，不等式①等价于．③

因为，③式等价于

或——10分

因为——12分

所以，不等式③的解集为．

综合得：

当为奇数时，原不等式的解集是；

当为偶数时，原不等式的解集是．

26．（本小题满分12分）

双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点．若，求双曲线的方程．

【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．

解法一：

设双曲线的方程为．

依题意知，点的坐标满足方程组

将②式代入①式，整理得．③——3分

设方程③的两个根为，若，则，

即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，

故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以．

根据根与系数的关系，有——6分

由于在直线上，可记为．

由得，

整理得．⑥

将④，⑤式及代入⑥式，并整理得，

．

因为，解得，

所以．——8分

由，得．

整理得．⑦

将④，⑤式及，代入⑦式，解得．——10分

将代入得．

故所求双曲线方程为．——12分

解法二：

④式以上同解法一．——4分

解方程③得，④——6分

由于在直线上，可记为．

由，得．⑤

将④式及代入⑤式并整理得，

即．

因，解得．——8分

由，得．

即．⑥

将④式代入⑥式并整理得．——10分

将代入上式，得，

将代入得．

故所求双曲线方程为．——12分

1991年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．

二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．

四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

五、只给整数分数．