曲线和方程Word文件下载.docx

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本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不

都在曲线上，即不满足完备性.

典型例题三

例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程yx所表示的直线之间的关系.

该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析.

方程yx所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等•但是“到坐标轴距

离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程yx，例如点（3,3）到两坐标轴的距离均为3,

但它不满足方程yx.因此不能说方程yx就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程yx所表示的轨迹.

本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的

坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性.只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线.

典型例题四

一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方也就是由两个方程整理出的关于x的一元二次方程的判

别式分别满足

0、

0.

y

k（x2）

4,

由2

x

（y1）2

4.

得（1k2）x2

2k（3

2k）x

（32k）240

4k2（32k）24（1k2）[（32k）24]

4（4k212k5）4（2k1）（2k5）

.••当

0即（2k

:

1）（2k5）

0，即

1

k5

时，直线与曲线有两个不同的交点.

2

当

0,即卩k

或k

5时，直线与曲线有一个交点.

-时，直线与曲线没有公共点.

说明:

在判断直线与曲线的交点个数时，

由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数

与由两方程联立所整理出的关于x（或y）的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程

是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两

曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析.

典型例题五

例5若曲线yax与yxa（a0）有两个公共点，求实数a的取值范围.

将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方

程的解的个数问题•若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发.

解法一：

由yax得:

yaya

yxa

•••y0，二y2a2（ya）2,

即（a21）y22a3ya40.

要使上述方程有两个相异的非负实根.

4a64a4（a21）0

则有：

2a3-

20a21

4

a0a21

又•••a0

•••解之得：

a1.

•••所求实数a的范围是（1,）.

解法二：

yax的曲线是关于y轴对称且顶点在原点的折线，而yxa表示斜率

为1且过点（0,a）的直线，由下图可知，当a1时，折线的右支与直线不相交.所以两曲线只有一个交点，当a1时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点.

这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求•若题设条件中a0”改为aR呢，请自己探求.

典型例题六

例6已知AOB，其中A（6,0）,0（0,0）,B（0,3），则角AOB平分线的方程是

yx（如下图），对吗?

本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是

一条线段.

不对，因为AOB内角平分线是一条线段OC,而方程yx的图形是一条直线.如

点P（8,8）坐标适合方程yx，但点P不在AOB内角AOB的平分线上.

综合上述内角AOB平分线为：

yx（0x2）.

判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围.

典型例题七

因此必需先将方程进行等价

例7判断方程y,x22x1所表示的曲线.分析：

根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状,

变形.

解:

由原方程y

<

'

x22x1可得

x1，即y

x1（x1）,

判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形.如方程x1.y2

等价于（x1）2y2且x1，即y（x1）22（x1），原方程的曲线是抛物线一部分.

典型例题八

例8如图所示，已知A、B是两个定点，且|AB2，动点M到定点A的距离是4，线段MB的垂直平分线I交线段MA于点P，求动点P的轨迹方程.

本题首先要建立适当直角坐标系，动点P满足的条件（等量关系）题设中没有明显

给出，要从题意中分析找出等量关系.连结PB,则PMPB,由此

PAPBPAPMAM4，即动点P到两定点A,B距离之和为常数.

过A,B两点的直线为x轴，A,B两点的中点0为坐标原点，建立直角坐标系

•••AB2,•••A,B两点坐标分别为（1,0）,（1,0）.

连结PB•••T垂直平分线段BM,

•PMPB,

PAPBPAPMAM4•

设点P（x,y），由两点距离公式得

1厂y2..（x1厂y24,

化简方程，移项两边平方得（移项）

2（x1）2y24x•

两边再平方移项得：

22

—I1，即为所求点P轨迹方程.

43

通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P点与两定点A,B距离之和为

常数4，是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性.

典型例题九

例9过P2,4点作两条互相垂直的直线l1，12，若11交11轴于A，l2交y轴于B，求

线段AB中点M的轨迹方程.

14x2—4y2

化简得M的轨迹方程为

典型例题十

图甲

设A（a,0）,B（a,0）,P（x,y），则：

|PA2（xa）2y2,|PB2（xa）2y2.

据题意，pA|PB?

k2，有（xa）2y2（xa）2y2k2得4axk2.

k2

由于k是常数，且a0，所以x为动点的轨迹方程，即动点P的轨迹是一条平

4a

行于y轴的直线.

坐标系.

图乙

整理后得到点p的轨迹方程为:

由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、

解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦•因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外，也要注意到本题所求的是

轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线.

例11两直线分别绕着定点A和B（AB2a）在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P的轨迹方程.

建立适当的直角坐标系，禾U用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式.

取直线AB为x轴，取线段AB的中点0为原点建立直角坐标系，则：

■|222

A（a,0）,B（a,0）,P属于集合CPPAPBAB.

22222222

设P（x,y），则（xa）y（xa）y（2a），化简得xya.

这就是两直线的交点P的轨迹方程.

本题易出现如下解答错误：

取直线AB为x轴，取线段AB的中点0为原点建立直角坐标系，则：

A（a,0）,B（a,0），交点P属于集合CPPAPBPkPAkPB1.

设P（x,y），则kPA—-（xa）,kPB—（xa）,

xaxa

故一--1,即x2y2a2（xa）.

要知道，当PAx轴且另一直线与x轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A.同样PBx轴重合时，且另一直线与x轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B.因而，A（a,0）与B（a,0）应为所求方程的解.

纠正的方法是：

当PA或PB的斜率不存在时，即xa时，A（a,0）和B（a,0）也在曲线上，故所求的点P的轨迹方程是x2y2a2.

求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标

的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分.

典型例题十二

的正半轴和y轴的正半轴上滑动，求直角顶点C的轨迹方程.

A与B均在两坐标轴

而是直线的一部分.我

由已知ACB是直角，A和B两点在坐标轴上滑动时，AOB也是直角，由平面几何知识，A、C、B、O四点共圆，则有ABCAOC，这就是点C满足的几何条件•由此列出顶点C的坐标适合的方程.

设点C的坐标为（x,y），连结CO，由ACBAOB90，所以A、O、B、

C四点共圆.

从而AOCABC•由tanABC—,tanAOC—，有~—，即y—x.

axxaa

注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的

a

的正半轴上滑动，由于a、b为常数，故C点的轨迹不会是一条直线，们可考察A与B两点在坐标轴上的极端位置，确定C点坐标的范围.

如下图，当点A与原点重合时，

SABC

1ABx

1\'

a2b2x，所以x

B与原点重合时，C点的横坐标xBD•

由射影定理，

BC2BDAB,即a2

a2b2，有x

2b2•由已知ab，ab

ab

所以一

故C点的轨迹方程为:

.a2b2

_a~b2