自猎狗追兔子数学实验报告Word格式文档下载.docx
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从而可得
1）当r<
1时，方程的解为
此为猎狗追赶兔子的路线函数。
当x=0时，猎狗追上兔子，猎狗走过的距离为
追赶时间为
2）当r=1时，方程的解为
Y=
3）当r>
（2）用MATLAB软件求解析解
在MATLAB软件命令窗中执行命令
Dsolve（‘Dy=1/2*（（x/c）^r-（c/x）^r）’,’y（c）=0’,’x’）
得方程的解析解为
ans=1/2*exp（-r*（log（c）-log（x）））*c^r*（1/c）^r/（r+1）*x+1/2*
exp（r*（log（c）-log（x）））/（（-1+r）*x-1/2*c*（-（1/c）^r*c^r+c^r*（1/c）^r*r+r+1）/（r^2-1）
（3）用MATLAB软件求数值解
先生成初值问题的函数文件。
Functiony=hs（t,y）
Y=8/18*（（t/3）^（8/18）-（3/t）^（8/18））
保存为hs.m，然后在MATLAB软件命令窗中用二三阶龙格——库塔算法计算初值问题的数值解。
执行命令
Ode23（‘hs’,200,0.0005,0）
若选用四五阶龙格——库塔算法解初值问题，则执行命令
Ode45（‘hs’,200,0.0005,0）
最终得到猎狗的坐标。
此次问题可以选用计算机仿真饭
显然可以将事件坐标转换到第一象限内，设兔子初始位置O为（0，0）,运动方向为沿x轴正方向，速度为a。
洞口A坐标为（0,120）。
猎狗初始位置B为（200,0），运动速度为b。
时兔子坐标为（0,tzy）,猎狗坐标为（lgx,lgy）。
追赶的方向可以用方向余弦表示：
取时间步长为Δt，则在时刻t+Δt时，猎狗位置可表示为
，
。
仿真算法：
第一步：
设置时间步长为Δt，速度a,b，猎狗跑过的路程s初始化为0,初始位置；
第二步：
由
猎狗与兔子的位置坐标计算二者在
时的坐标（
）和（
）:
并在图中标出改点。
第三步：
计算猎狗与兔子之间的距离
如果
小于事先设定的距离（就是认为猎狗追上兔子之间的距离），则退出循环，否则让时间产生一个步长，返回第二步继续进行下一次循环。
第四步：
当循环成功退出后，
为兔子被捉时跑过的距离，通过改变猎狗的速度b使其等于120，此时的b即为猎狗能追上兔子的最小速度，
为猎狗跑过的路程，由第二步中所标出的点构成的图即为够追兔子奔跑的曲线图。
2.问题（4）的分析过程与前三问类似，只需在第三步中增加一个对
的判断，当
小于等于30米时，Δt每增加一秒分别对a、b进行一次修正，即a=a/2，b=1.1*b。
三．程序设计的流程
1.取时间步长为0.1，当猎狗与兔子相距小于等于0.3米时视为追上。
问题
（1）~（3）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）：
当猎狗速度为15m/s时：
c=200;
a=8;
b=15;
lgxb=[];
lgyb=[];
tzxb=[];
tzyb=[];
d=1;
dt=0.1;
t=0;
lgx=c;
lgy=0;
tzx=0;
tzy=0;
holdon
axis（[0,200,0,150]）
title（'
猎狗追兔子'
）
text（0,120,'
洞口A'
text（200,0,'
B'
text（0,0,'
O'
while（sqrt（（lgx-tzx）^2+（lgy-tzy）^2）>
d）
t=t+dt;
lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt（lgx^2+（a*t-lgy）^2）;
lgxb=[lgxb,lgx];
lgy=lgy+b*dt*（a*t-lgy）/sqrt（lgx^2+（a*t-lgy）^2）;
lgyb=[lgyb,lgy];
tzy=a*t;
tzyb=[tzyb,tzy];
end
lgxb;
lgyb;
tzyb;
tzxb=zeros（length（tzyb））;
plot（lgxb,lgyb,'
m*'
tzxb,tzyb,'
c*'
）
gtext（'
猎狗'
兔子'
当猎狗速度为18m/s时：
b=18;
2．问题（4）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）;
b=15.4;
s=0;
D=30;
e=0;
lgx=200;
if（sqrt（（lgx-tzx）^2+（lgy-tzy）^2）>
D）
tzy=tzy+a*dt;
plot（lgx,lgy,'
r*'
tzx,tzy,'
b*'
pause（0.1）
else
if（e==0||e==1）
a=a/2;
b=1.1*b;
e=0;
end
e=e+dt;
lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt（lgx^2+（tzy+a*dt-lgy）^2）;
lgy=lgy+b*dt*（tzy+a*dt-lgy）/sqrt（lgx^2+（tzy+a*dt-lgy）^2）;
tzy=tzy+a*dt;
r+'
b+'
s=s+b*dt;
lgx,lgy,tzx,tzy,t,s
四．上机实验的结果与结论
1.问题
（1）~（3）：
lgx=0.0110
lgy=118.9382
tzx=0
tzy=119.2000
t=14.9000
s=253.300
结论：
（1）猎狗能追上兔子的最小速度是17米/秒；
（2）在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是253.3米；
（3）猎狗追赶兔子奔跑的曲线图
2.问题（4）：
lgx=-0.0026
lgy=119.24
tzy=119.2000
t=16.0000
s=249.7880
猎狗追赶兔子奔跑的曲线图如下：
五．实验的总结与体会
通过这次实验，我们小组人员对微分方程的模型实验有一定的了解，由于此实验和之前的缉私船追赶走私船实验基本相同，只是将实验的坐标轴进行旋转即可，所以整体实验过程都比较简单，小组人员都对其表示比较熟悉。
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