完整版复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx
《完整版复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
代数形式r=
三角形式
Z=a+bi（a,b∈R）
Z=r（cosθ+isinθ）（r≥0）
复数三角形式的结构特征是:
模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
（1）Z1=-2（cosθ+isinθ）
（2）Z2=cosθ-isinθ （3）Z3=-sinθ+icosθ
（4）Z4=-sinθ-icosθ （5）Z5=cos60°
+isin30°
分析:
由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:
首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:
（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:
Z1=Z（-cosθ-isinθ）
复平面上Z1（-2cosθ,-2sinθ）在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z（-cosθ-isinθ）=2[cos（π+θ）+isin（π+θ）]
（2）由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z2（cosθ,-sinθ）在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式
“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
∴Z2=cosθ-isinθ=cos（-θ）+isin（-θ）或Z2=cosθ-isinθ=cos（2π-θ）+isin（2π-θ）
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前”知，不是三角形式
复平面上点Z3（-sinθ,cosθ）在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
“
+θ”将θ变换到第二象限.
∴Z3（-sinθ,cosθ）=cos（
+θ）+isin（
+θ）
同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos（
π-θ）+isin（
π-θ）
（5）Z5=cos60°
=
+
i=
（1+i）=
·
（cos
+isin
）=
）
小结:
对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ（π<
θ<
2π）的模与辐角主值.
式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
Z=1+cosθ+isinθ=1+（2cos2
-1）+2i·
sin
cos
=2cos
）........
（1）
∵π<
2π ∴
<
π, ∴cos
∴
（1）式右端=-2cos
（-cos
-isin
）=-2cos
[cos（π+
）]+isin（π+
）]
∴r=-2cos
ArgZ=π+
+2kπ（k∈Z）
∵
π ∴
π<
π+
2π， ∴argZ=π+
.
（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos
argZ=
或ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ（π<
2π），Z2=1+cosθ-isinθ（π<
2π）等类似问题.
例3．将Z=
（
3π）化为三角形式，并求其辐角主值.
三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
=cos2θ+isin2θ
∵
3π,∴
2θ<
6π,
∴
2θ-4π<
2π，∴argZ=2θ-4π
掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ,tgθ+i,i-ctgθ等.
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:
复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:
复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:
以x轴正半轴为角始边，以向量
所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π）范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=
，∴argZ∈[0,
]∪[
π,2π）
法二:
用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,y∈R）
则由|Z-2|≤1得（x-2）2+y2≤1,
∴|Z|=
≤
∵（x-2）2+y2≤1,∴（x-2）2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.
在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.
例5．复数Z满足arg（Z+3）=
π,求|z+6|+|z-3i|最小值.
由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
解法一:
由arg（Z+3）=
π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=
π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|（z+3）-（-3）|+|（Z+3）-（3+3i）|
将B（-3,0）与C（3,3）连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
∴所求最小值=3
π,知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，
∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P（-6,0）和点Q（0,3）距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
∴所求最小值=3
两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6．已知|Z-2i|≤1,求arg（Z-4i）最大值.
解：
∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）
得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg（Z-4i）最大值为
π.
3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.
两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.
例7．若
与
分别表示复数Z1=1+2
i,Z2=7+
i,求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.
欲求∠Z2OZ1，可计算
∴∠Z2OZ1=
且
，
由余弦定理，设|OZ1|=k,|OZ2|=2k（k>
0）|Z1Z2|2=k2+（2k）2-2k·
2k·
=3k2
∴|Z1Z2|=
k,
而k2+（
k）2=（2k）2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°
的直角三角形.
此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）和B（0,8）关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
如图，建立复平面x0y，设向量
、
对应复数分别为
x1+y1i,x2+y2i.
由对称性，|OA'
|=|OA|=1,|OB'
|=|OB|=8,
∴x2+y2i=（x1+y1i）8i=-8y1+8x1i
∴
设抛物线方程为y2=2px（p>
0）则有y12=2px1,y22=2px2,
∴x1=
y12=p2,又|OA'
|=1，
∴（
）2+p2=1, ∴p=
或-
（舍）
∴抛物线方程为y2=
x，直线方程为:
y=
x.
对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1．并不是每一个复数都有唯一确
升级会员 