【答案】 A
6.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于
,则C的方程是( )
A.
+
=1 B.
+
=1
C.
+
=1D.
+
=1
【解析】 右焦点为F(1,0)说明两层含义:
椭圆的焦点在x轴上;c=1.
又离心率为
=
,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为
+
=1,故选D.
【答案】 D
7.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.e D.
【解析】 由y′=ex,得在点A(0,1)处的切线的斜率k=y′|x=0=e0=1.
【答案】 A
8.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C.1D.
【解析】 双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,∴x±y=0,∴顶点到渐近线的距离为d=
=
.
【答案】 B
9.已知命题p:
存在x∈R,使tanx=1;命题q:
x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}.下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧綈q”是假命题;
③命题“綈p∨q”是真命题;
④命题“綈p∨綈q”是假命题.其中正确的是( )
A.②③B.①②④
C.①③④D.①②③④
【解析】 ∵p真,q真,∴“p∧q”真,“p∧綈q”假,“綈p∨q”真,“綈p∨綈q”假,故选D.
【答案】 D
10.已知f(x)=
x+sinx,x∈
,则导函数f′(x)是( )
A.仅有极小值的奇函数
B.仅有极小值的偶函数
C.仅有极大值的偶函数
D.既有极小值也有极大值的奇函数
【解析】 ∵f′(x)=
+cosx,x∈
,
∴f′(x)是偶函数.
令h(x)=
+cosx,
则h′(x)=-sinx,x∈
.
由h′(x)=0,得x=0.
又x∈
时,h′(x)>0;x∈
时,h′(x)<0,
∴x∈
时,h(x)即f′(x)仅有极大值.
【答案】 C
11.若直线y=2x与双曲线
-
=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1,
)B.(
,+∞)
C.(1,
]D.[
,+∞)
【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y=
x.由条件知,应有
>2,
故e=
=
=
>
.
【答案】 B
12.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0
【解析】 ∵f′(x)=ex+1>0在R上恒成立,∴f(x)是R上的增函数.∵g(x)的定义域是(0,+∞),∴g′(x)=
+2x>0,∴g(x)是(0,+∞)上的增函数.∵f(0)=-1<0,f
(1)=e-1>0,∴0<a<1.∵g
(1)=-2<0,g
(2)=ln2+1>0,∴1<b<2,∴f(b)>0,g(a)<0.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.
【解析】 a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,
a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.
【答案】 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
14.曲线y=x3-4x在点(1,-3)处的切线倾斜角为____.
【解析】 y′=3x2-4,k=y′|x=1=-1,
tanα=-1,α=
π.
【答案】
π
15.已知点(2,3)在双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________.
【解析】 ∵2c=4,∴c=2,
则b2=c2-a2=4-a2,
故
-
=1,解得a2=1,∴a=1,
∴e=
=2.
【答案】 2
16.若O和F分别是椭圆
+
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
·
的最大值为________.
【解析】 由椭圆
+
=1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则
·
=x2+x+y2=x2+x+3
=
x2+x+3=
(x+2)2+2,当且仅当x=2时,
·
取得最大值6.
【答案】 6
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设命题p:
方程
+
=1表示的曲线是双曲线;命题q:
∃x∈R,3x2+2mx+m+6<0.若命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
【解】 对于命题p,因为方程
+
=1表示的曲线是双曲线,所以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m>
,则命题p:
m<-4或m>
.
对于命题q,因为∃x∈R,3x2+2mx+(m+6)<0,即不等式3x2+2mx+(m+6)<0在实数集R上有解,
所以Δ=(2m)2-4×3×(m+6)>0,
解得m<-3或m>6.
则命题q:
m<-3或m>6.
因为命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以命题p与命题q有且只有一个为真命题.
若命题p为真命题且命题q为假命题,
即
得
若命题p为假命题且命题q为真命题,
即
得-4≤m<-3.
综上,实数m的取值范围为[-4,-3)∪
.
18.(本小题满分12分)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+
+b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y=
x,求a,b的值.
【解】
(1)f(x)=ax+
+b≥2
+b=b+2,
当且仅当ax=1即x=
时,f(x)的最小值为b+2.
(2)由题意得:
f
(1)=
⇔a+
+b=
.①
f′(x)=a-
⇒f′
(1)=a-
=
.②
由①②得:
a=2,b=-1.
19.(本小题满分12分)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.
【解】 显然,直线斜率k存在,设直线方程为y-2=k(x+3),
由
消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.①
(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
(2)当k≠0时,方程①应有两个相等的实根,
所以
即
解得k=
或k=-1.
∴直线方程为y-2=
(x+3)或y-2=-(x+3),
即x-3y+9=0或x+y+1=0.
故所求直线有三条,其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.
20.(本小题满分12分)(2015·大连高二检测)已知函数f(x)=
x2+alnx(a<0).
(1)若a=-1,求函数f(x)的极值;
(2)若∀x>0,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 由题意,x>0.
(1)当a=-1时,f(x)=
x2-lnx
f′(x)=x-
,
令f′(x)=x-
>0,解得x>1,
所以f(x)的单调增区间为(1,+∞);
f′(x)=x-
<0,得0所以f(x)的单调减区间为(0,1),
所以函数f(x)在x=1处有极小值f
(1)=
.
(2)因为a<0,f′(x)=x+
.
令f′(x)=0,所以x=
,
列表:
x
(0,
)
(
,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
这时f(x)min=f(
)
=-
+aln
,
因为∀x>0,不等式f(x)≥0恒成立,
所以-
+aln
≥0,
所以a≥-e,
所以a的取值范围为[-e,0).
21.
图1
(本小题满分12分)如图1,要设计一矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位:
cm),能使矩形广告牌面积最小?
【解】 设广告牌的高和宽分别为xcm,ycm,
则每栏的高和宽分别为x-20,
,其中x>20,y>25.
两栏面积之和为2(x-20)·
=18000,
由此得y=
+25.
广告牌的面积为S(x)=x
=
+25x.
∴S′(x)=
+25
=
+25.
令S′(x)>0,得x>140,令S′(x)<0,得20<x<140.
∴函数S(x)在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,
∴S(x)的最小值为S(140).
当x=140时,y=175.
即当x=140,y=175时,S(x)取得最小值24500,
故当广告牌的高为140cm,宽为175cm时,可使广告牌的面积最小.
22.(本小题满分12分)已知椭圆C:
+y2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:
y=x+t(t>0)与椭圆C交于A,B两点.若原点O在以线段AB为直径的圆内,