三角函数倍角公式文档格式.docx
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2222
sin2a=2sinacosa,cos2k-cosa-sina=2coscs-1=1-2sir*a,tan2a-
由此可继续导出三倍角公式•观察角之间的联系应该是解决三
角变换的一个关键•二倍角公式中余弦公式有三种形式,采用哪种形
式应根据题目具体而定
倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.
.2q1-coso2of1+cosa
sm一=cos一=
推导过程中可得到一组降次公式,即,
进一步得到半角公式:
空11—C0SftCL十COSSCLfl—COStZ
sin—=±
J’C63—=土」Jan——-+J
2V22Q22Vl+costz
降次公式在三角变换中应用得十分广泛,降次”可以作为三角变
换中的一个原则•半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取,而
(X
是正是负取决于二所在的象限•而半角的正切可用a的正弦、余弦表
ut1-cosatsincetan一=——;
示,即卩:
_丄亠
-"
1■一.这个公式可由二倍角公式得出,这个
0C
公式不存在符号问题,
因此经常采用•反之用tan]也可表示sinacosa
tana,即:
Stan-
tanQi=—
1-tan2-
2这组公式叫做
2tan-
;
in«
='
—
CQSQi=-
vce
1亠tan一
万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出
例1.推导三倍角的正弦、余弦公式
解:
sin3a=sin(2a+a
=sin亡za+C6SSiESift&
=2sinaa+(1-2sina)sina
j^.3..?
-2sinc&
(l-sina)+sinas-2sina~3sma.-4sina
cos3o=cos(2a+a
■2.J
=C6£
2&
亡-filfL2&
5in-(2t65。
一1)-25ifi*"
£
KCi>
£
-2cos^-cosc-2(1-co/cz)coscu-4cos^a-3cose
例2.利用三倍角公式推导sin18的值.
vsin36=cos54°
「.2sin18Cos18=4co^18-3cos18
tcos18°
M0「•2sin18=4co§
18°
-3
2sin18=4-4sirh8-3
•••4si〃18°
+2sin18-1=0
10fl-2+V20厉-1
sin18■
•••.本题还可根据二倍角公式推出
cos36°
^os36°
-1-2£
m218°
・1-買』1二■仝匕
即〜二.
例3.化简求值:
(1)csc10-°
°
sec10⑵tan20+&
ot20-2sec50
(1)csclO-广seclO
1_厲.cxlM-历sin10°
.2(妣型g"
凹弋*30°
命10。
).2皿出-12).4
sin10°
cos10csin10°
coslODsinW°
tc>
slO°
丄血2爪
(2)tan20+Cot20-2sec50
sm20°
cos20°
一_丰一=
=:
2r>
fiOi2nnO
sinAU+gos2U
==
='
:
=-
__2“
cos2CI°
sin20°
cos50*^
cos20°
sin4u°
sin40°
例4•求:
sin220°
+coS?
50°
+sin30sin70
1-CQe40^1GQslOO^1十+—SltL
sin^O°
+co$50°
2£
2如卅…"
圖制®
吧+驰7°
=l+l[cos(70°
+汕)-cos(70°
-30°
)]+|sin70°
=1+|(-2sin70°
sin3O°
)+|sm7O0=1
例5.已知:
cos(—一&
)cos(—十0)
44
1
z•求:
cog&
+sin4B的值.
GO5(—_0)C05(—"
*■&
)=]解:
T「-,
(cos-cos
4
即1,:
,_?
COE2^=—
即“,二cos4&
+sif0
例6.求cos36°
os72的值.
cos72°
2sin36°
C6S36°
eos72°
2m72°
eds720sin144°
1
4sm36°
4sin36°
4
k23
cos—■cos—?
r■cos—k
例7.求:
「=:
的值.
cos—'
COS—兀・COS—TC解:
一?
一
24
=COS—COS—K'
C-CQS—=一
7177
jt24
2sin—cos—cos—cos—
7777
—^cos
COS—JI
2sin
—cos—九
77
sm
3
-JT
8sh-
4siti
上述两题求解方法一致,都是连续应用二倍角的正弦公式•而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足
(1)余弦相乘,
(2)后一个角是前一个角的两倍,(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是n满足这三个条件即可采用这种方法.
例8.已知:
2cos8=1+sinB,求42.
2(cos
方法一:
t2cos0=1+sin0,二
兀&
GOt(—-—
4'
汗
1十tan-
1-tan—
2:
.
叫一”或网右fl.
cos—十sin—=Ucos—=Jsin—或]
方法二:
t2cos8=1+sin0,
2sin(冷_=1-hcosfy_ff)
4stn(—-—)cos(—-—)=2cos(—-—
Q匸:
Sin—=Hl亠SULDC
例9.已知:
二
求:
tana的值.
sin—=J1十since-Ji一sinat2
at.a>
a
sin—=sin—十cos—
2122
a
sm—一cos
1'
sin
.Of
sm—+
a..a:
cos—-sm—一
212
cos
⑴当
则有
r°
。
仔
StQ
-时,
asm—■+cos
tan—=0
十£
in—-
a>
cos—
.QJsin—
2sm—
2ten-
tan«
==Q
l+tena-
W.Of—、
x一》sin
O!
〉cos
⑵当
42
】,则有
Ct
.1
Q.0:
sin—
=sin-
—十cos
—-sin—
+
cos—
22
Stan—
9
-1:
-■-
IkllJ
.2Q
1-tail一
-_
2Qsin一斗cos'
注意:
1与Sina在一起时,1往往被看作】二,而1与COSa在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去掉•
例10.已知:
sinQsina,cos0为等差数列;
sinQsin®
cos0为等比数列.求证:
2cos2a=cos2®
4sin3a二1+2血Bcos0
2sin'
Q=2sincos$
「•4sirfa=1+2sirf®
/•2-4sin2a=2-1-2sin2®
2cos2沪cos2®
课后练习:
5>
={oj|ct!
=l-2pin:
1—=$\/3=2cos3%-1,W2E2V)
1.若:
'
则()•
2.若A为/ABC的内角,
m+cosj4=-
3,贝卩cos2A=()
B、
C、:
l
+2/nD、"
-:
A、P,QB、PQC、P=QD、PAQ=:
3.若,贝卩sin28=().
A、•:
B、1-QC、一7
tan—=<
0)
A、
2a
C、-1
D、-1,
4.若二•,则sin8=()
oct=1-cosa+sinatail—=:
5.若-,贝yi—一■丄…上=(
A、2B、「C、1D、-1
sin&
:
sin一=8:
5
6.若2,贝yCOSOF.
a2A09
cosp=-—-/2tan—+cot—
7.若8为第二象限角,且[,贝q1】=.已知
3十为
sinA+cosA=2sinB.求证:
cos2B=coS「
参考答案
7.6
l+tana-