校本培训材料数与代数.docx

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校本培训材料之一第一章数与代数

“数与代数”是初中数学课程的四个主要学习内容之一，也是最为基础的学习内容。

这一部分内容涉及运用符号表示数、数量关系和变化规律，使用符号进行一般性的运算和推理，涉及方程、不等式、函数等基本数学模型，包含从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用符号表示数量关系和变化规律，求出模型的结果、并讨论结果的意义，进而形成初步的模型思想。

本章将就初中数学学习最为基础的数、式、等式与方程、不等式和函数进行阐述。

第一节数

“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。

对量的多少和数的大小、关联的感悟是理解“数”乃至整个数学的基础。

虽然在小学阶段对“数”的学习已经较为深入，然而，数系的严密化和数系的扩张却是在初中阶段完成。

因此，我们有必要对“数”的发展历程和扩张理论进行必要的掌握和了解。

一、如何理解数系扩充的概况?

数的概念是逐步发展的，从历史发展过程来看，数的概念的产生和扩充是交错着的。

例如在人们还没有完全认识负数之前，早已有了无理数的概念；在实数理论还没有建立之前，就早已经产生了虚数的概念。

数的概念产生于实际需要。

数集的每一次扩充，总是由于旧有的数集与解决具体问题的矛盾而引起的。

这些问题一般都是首先从实际中提出的，比如数集从自然数集扩展到实数集这一过程中，都是与量的计量问题联系着的。

虚数的引进虽然首先是从数学本身的需要提出的，但即使如此，最后还必须取得了实际的解释，逐步展示了它的致用，才被广泛采纳。

第一次扩充：

分数的引进。

第二次扩充：

0的引进。

第三次扩充：

负数的引进。

第四次扩充：

无理数的引进。

第五次扩充：

复数的引进。

数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：

原数集是扩充后新数集的真子集；

原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；

原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；

在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；

新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。

按照上述扩充原则，通常有两种扩充方法：

一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充，如，

中小学数学课程中，数系的扩充，一般采取的是这种方法。

另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前所建立的数系是同构的，这里不再赘述。

二、自然数的发展历程是怎么样的？

众所周知0，1、2、3、4、5、……，叫做自然数。

自然数起源于数（shǔ），它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。

当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。

因而，自然数有两种作用，一种是计数，一种是排序，并最终形成了自然数的两大基本理论：

基数理论和序数理论

（一）自然数

大多数文明很早就会计数了，但数字符号的发明可能要晚于文字符号，含有数字符号加名数的文字符号并不能意味着人们已经把关于数量的感知抽象到数字符号。

而只有当数字符号除了表示数量多少之外没有其它具体含义，每一个具体的事物都只是这种表示的特例时，这种表达才具有一般性。

也就是说关于数量关系的第二步抽象，即符号表达必须摆脱具体内容和背景，这样才可能建立起一般地“多少”概念。

从一类事物的共同属性中抽象出“数”。

两匹马、两头驴、两个人都是2，能抽象出2是非常了不起的。

中国历史上对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学总是带有名数。

其实，世界上根本没有2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料等等，能抽象出2是了不起的事情。

比如有3个苹果，计数的结果是3；3个足球，虽然对象不同了，但计数的结果仍然是3。

它就跟数词“三”，数字“3”联了起来。

此时用到了有关“基数”的概念。

再如，对5个苹果进行计数的时候，不管是孩子或成人，都会嘴里念1，2，3，4，5。

当然也有的人是在心里默念的。

在计数的过程当中，就已经用到了有关“序数”的概念。

（二）自然数的两大基本理论

1．基数理论

当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。

19世纪中叶，数学家康托（G.Cantor）以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。

两个集合A与B元素之间存在一一对应，则称这两个集合是等价的，记为A～B，凡是能够彼此一一对应的有限集合构成一个等价类。

等价集合的共同特征称为基数（或势）。

对于有限集合来说，基数就是元素的个数。

从有限集合的基数来解释自然数就有如下定义：

有限集合A的基数叫做自然数。

记作“”。

这里所说的有限集合不包含空集（空集用来表示）。

所有等价于的集合的基数，用符号“1”表示。

即=1，1是自然数。

如一个人的集合、一本书的集合、一张桌子的集合为等价集合，这类集合的基数用符号“1”表示。

类似地

这样我们就可以利用集合的基数来刻画自然数以及加法、乘法运算和运算律。

当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。

特别地，空集的基数就是0.

而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。

2．序数理论

为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。

对某一个有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。

这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（G.GiuseppePeano，1858～1932），他于1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。

自然数的序数理论，是根据一个集合里某些元素之间有“后继”（如3是2的后继，15是14的后继）这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、3、4、5、……这样一种基本关系而完全确定下来。

定义非空集合N*中的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”（b后继于a,记为b=a′），并满足下列公理：

（1）0∈N*；

（2）0不是N*中任何元素的后继元素；

（3）对N*中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）对N*中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N*中某一元素b；

（5）（归纳公理）如果MN*，而且满足条件:

①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.那么，M=N*.

这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。

事实上，很容易验证，我们日常所用的全体自然数的集合满足上述定义。

反之，如果把N*中的0放在最前面，后面紧跟它的后继数，以此类推，可把N*中元素排成一列：

0，0′，（0′）′，….如果选用适当的符号，如记0′=1，1′=2，2′=3，…，便是我们所熟悉的自然数列：

0，1，2，3，4，….

（三）自然数“0”

自然数0是作为空集的标记。

在空集中，加入一个元素就得到含有一个元素的集合，就可用1表示。

从基数理论看，1比0多1，这样就可以把0写在自然数系的前面，得到一个数列：

0、1、2、3、4……。

这个数列就叫做扩大的自然数系。

既然0成了扩大的自然数系里的一员，它也就取得了自然数的资格。

我国以往的中小学数学课程不将0列为自然数，直到1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，明确规定自然数包括0。

这才有了数学课程中0在自然数中的“合法”位置。

“0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。

早期的巴比伦楔形文字和中国宋代以前的筹算记数法，都是留出空位而没有符号。

13世纪初，意大利的商人斐波那契（L.Fibonacci,1175-1250）编著《算经》（1202年），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。

印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。

（四）自然数系所蕴含的思想

1．对应思想（可数的集合）

自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。

一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。

而这个概念与约在公元前９世纪至公元前８世纪的古希腊荷马史诗中的一段美妙故事连在一起：

当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。

早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。

当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。

这种方法在今天的数学上就叫一一对应。

正是这个“对应思想”，导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现，引起了数学上的第三次危机。

1902年，英国数理逻辑学家罗素（BertrandRussell，1872-1970）发现的这个悖论震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾。

所谓“理发师悖论”，就是说，“一位理发师给不给自己理发的人理发，那么，理发师该不该给自己理发呢？

”从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中的一个重要工作就是把集合论建立在一组公理之上，以便回避悖论。

首先进行这项工作的是德国数学家策梅罗（E.Zemelo，1871-1953），他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国的另一位数学家弗芝克尔（A.Fraenkel）的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。

正是这场数学危机，给数学发展带来了新的动力和繁荣。

2．数位思想

位置制记数法是数系发展的第一个里程碑。

所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。

最重要和最美妙的记数法则是十进位位置制记数法。

法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：

用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。

这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。

但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。

现已有充分而确凿的史料证明，十进位位置制记数法最先产生于中国。

这一点也为西方的一些数学史家所主张，英国著名科学家、中国科技史大师李约瑟（JosephNeedham,1900-1995）博士就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。

”不过，十进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。

记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。

研究表明，十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

特别指出的是，了解自然数的一些基本数学常识，可以更好地理解中小学数学课程中的不少内容。

自然数系的思想和方法已经成为当代中小学数学教师专业功底的基本内容，尤其是娴熟地驾驭小学数学课程教学内容的必备前提之一。