03第一章 数学模型概述Word文档下载推荐.docx

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自从牛顿将力学法则用数学模型表示出来之后，在包含物理学在内的自然科学领域中，出现了这样一种趋势：

致力于用单纯的数学式表示自然法则，求出它们的解，并与实验和观测结果相比较去理解。

因而在科学发展史上，有一段时间学者们认为：

“科学的本质是数学”。

例如，反映物体机械运动的基本客观规律——牛顿三定律，可用明确而紧凑的数学式子表示；

反映电路理论的基本规律——基尔霍夫定律也可用数学式子来表示；

马克思用公式I（V+m）＝

c来描述社会再生产的基本规律。

这种反映某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型。

一个学科的内容能用数学来分析和表示，这是该学科精密化和科学化的一种表现。

利用数学这个有效的工具，可以深刻地认识客现现象的本质，预测未来，促进科学的发展。

随着电子计算机的问世与发展，许多学科的计算分支都在迅速发展，如计算物理学、计算化学等分支的出现和发展，导致需要建立有关系统的数学模型。

目前，在许多领域中，要对有关问题进行计算，必须先建立—问题的数学模型，没有数学模型，计算就不可能进行。

也可以这样认为：

今天，没有数学模型，许多基本的生产活动便无法进行，更不要说计算机的应用了。

1.1.2工程技术与数学模型

数学模型现在已越来越受到人们的重视，这不仅是因为数理等学科应用它，而且工程学等领域也视其为一种重要的方法。

在工程学领域，以前认为实验方法是至高无尚的，但现在已把数学模型视为与实验同等重要，甚至是更好的一种方法。

随着科学技术的进步，数学模型在工程技术上所起的作用也日益增大。

从设计上来看，要进行理论设计首先要建立生产过程正确的数学模型，否则会给设计以及生产带来很大的损失。

如在化学工业中，需要通过建立模型、分析计算来决定设备的大小，原料的数量，温度调节等问题。

又例如，1979年3月美国原子能委员会关闭了5座核电站，这是因为设计中所选取的冷却水管道系统的数学模型不妥，使得模拟计算结果的可靠程度不够，不能承受地震等的冲击而导致关闭，另外，日本在2001年关闭了东京附近的日本最大的核电站，原因也是原来使用的安全模型出现了问题。

可见数学模型对工程设计十分重要。

在生产过程中，为了分析和改进生产中出现的问题，采用先建立数学模型，然后在计算机上进行模拟计算的办法来代替实验，可以节约较多的人力、财力和时间，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。

例如，阿波罗卫星返回地球时在高120千米的大气层上空以11千米／秒的速度开始，仅用30分种左右时间就回到地面，若用风洞来实验，必须有极大的设备，这实际上无法实现，就只有用建立数学模型的方法来解决。

在比较精密的生产中，常用电子计算机控制和指挥生产，这也需要建立反映生产过程的数学模型。

总之，随着科学技术日益发展，生产要求日益精确，在设计、控制生产等各个环节都越来越多地需要了解有关的数学模型。

1.2数学模型及其分类

1.2.1模型及其分类

在自然科学、工程技术和社会科学的许多领域中，定量的系统分析，系统综合已受到人们更多的重视。

模型是开展这些工作的有效工具，模型化则是开展这些工作的前提和基础。

一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或者抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说，模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。

通常，对模型有4个基本要求：

目的性、清晰性、准确性、经济性。

把实体（对象）变为模型的过程称为建模或模型化。

按模型的表达形式，一般可粗略地分为实体模型和符号模型两大类。

实体模型包括：

实物模型（如城市模型、作战沙盘、船舶模型等）和模拟模型（如地图、电路图、电路模拟机械运动等）。

符号模型也称语言模型，这是模型中最丰富多彩的一大部分。

包括数学模型，结构模型，仿真模型及诸如化学、音乐、美术等学科的符号模型，也包括用自然语言表达的直观描述式模型。

除上述分类外，还可按其形式、结构、用途和对象等分类，在众多分类的模型中，数学模型是发展最快，内容最丰富、最受人偏爱的一种。

1.2.2数学模型及其分类

什么是数学模型?

数学模型指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。

它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。

在这里，数学模型被看成是一个能实现某个特定目标的有用工具。

从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映象”。

数学模型的特征是：

1．是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；

是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。

2．它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题。

3．可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。

通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。

常见的数学模型分类有以下几种：

按数学模型的功能可分为定量的和定性的。

按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。

按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。

按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。

按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。

按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型……

按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型，工程系统模型……

按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。

还有一些其他分类方法，这里只是为了叙述和阅读方便起见，列举出几种常见分类方法，而模型的分类问题并没有什么重要意义，只是为了问题阐述便利而已。

1.3建模实例

本节所讲的两个例子，一个是理论上的结果，一个是工程中的问题，对于数学模型的用途和建模方法都有一定代表性，首先介绍给大家，以便对数学模型全貌的了解有所收益。

例1.1万有引力定律

牛顿（Newton，l642~1727）是世界上伟大的科学家，在物理学特别是力学中有卓越的贡献，而且在数学上，他是微积分的两大奠基人之一。

万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重大贡献之一。

牛顿在研究力学的过程中发明了微积分，又成功地在开普勒（KeplerJohannes，l571~1630）三定律的基础上运用微积分推导了万有引力定律。

这一创造性成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一。

历史背景15世纪下半叶，人类社会发展到了一个新阶段，商品经济的繁荣促进了航海业的发展，哥伦布、麦哲伦，…扬帆远航，在强大的社会需要的推动下，天文观测的精确程度不断提高。

在大量实际观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了，科学家对“地心说”开始产生了疑惑。

哥白尼在天文观测的基础上，冲破宗教统治和“地心说”的束缚，提出了“日心说”，这是天文学乃至整个科学的一大革命。

但是由于历史条件和科学水平的限制，他的理论尚有不少缺陷，如他认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。

自然科学与社会科学的交汇点是天文学

丹麦天文学家第谷·

布拉赫（TychoBrahe，l546~1601）对行星运动作了大量观测，积累了20年的资料。

他的助手开普勒分析研究了这些资料，运用数学工具，发现火星的实际位置与按照哥白尼理论计算的位置相差8弧分。

在深入分析的基础上，于1609年归纳出开普勒第一、二定律。

为了寻求行星运动周期与轨道尺寸的关系，根据其老师大量而且非常精确的天文观测资料，反复研究，终于在1619年发现了行星运行周期与到太阳距离之间的关系开普勒第三定律，这就是天文学上至今仍然十分著名的开普勒三定律：

（1）行星的轨道是一个椭圆，太阳位于其中一个焦点上。

（2）行星运行过程中，行星和太阳的连线在单位时间内扫过相等的面积

（3）各行星公转周期的平方同轨道长半轴的立方成正比。

上述定律只是阐明行星的运动情况，但并没有解释为什么这样运动。

那么，是什么力量作用在行星上，使它的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢?

牛顿认为一切运动都有其力学原因，开普勒三定律的背后必定有某个力学规律在起作用。

他要构造一个模型加以解释。

他以微积分（当时称流数法）为工具，在开普勒三定律和牛顿力学第二定律的基础上，演绎推倒出著名的万有引力定律。

这一定律成功地定量解释了许多自然现象，为其后一系列的观测和实验数据所证实，成为物理学中的一个基本定律。

万有引力定律的建立

首先建立以太阳为原点的极坐标系（r，），向径r表示行星位置，如图1-1所示。

再把开普勒三定律作为假设I、Ⅱ、

，牛顿第二定律作为假设Ⅳ，并分别用数学式子表示：

（1）轨道方程为：

（1-1）

及

（1-2）

a为长半轴，b为短半轴，e为离心率。

（2）

（1-3）

A是单位时间内向径r扫过的面积，对某一颗行星而言，A是常数，

。

（3）

（1-4）

T是行星运行周期，k是绝对常数。

（4）

（1-5）

这表示太阳和行星间的作用力f与加速度r的方向一致，与r的大小成正比。

以上假设中把所有的行星甚至太阳本身都当作质点来处理。

这是进行数学表述时所作的一种近似或理想化，因为太阳的半径比太阳到行星的距离小得多，因而这种近似是合理的。

下面从这四条假设出发，推出万有引力定律：

太阳与行星间作用力的方向是太阳和行星连线方向，指向太阳；

大小与太阳—行星间距离的平方成反比，比例系数是绝对常数。

为此，如图1-1，选单位向量

（1-6）

于是

（1-7）

由（1-6）得到：

（1-8）

将式（1-7）对r求导，利用式（1-8）便得到行星运动的速度和加速度：

（1-9）

（1-10）

根据式（1-3），得：

（1-11）

（1-12）

由式（1-11）和式（1-12）可知式（1-10）右端第二项

，于是式（1-10）为：

（1-13）

再对式（1-1）求导，利用式（1-11）可以得到：

（1-14）

（1-15）

将式（1-11）、（1-15）代入式（1-13）整理可得：