小学数学竞赛等积变换文档格式.docx
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①等底等高的两个三角形面积相等.
②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等.
③若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
,它们所对的顶点同为A点,(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等.
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍.
例如在右图中,△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上,(也就是它们的高相等),那么这两个三角形的面积相等.
例如右图中,△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC),△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE),则△ABC的面积是△DBC面积的2倍.
上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据.
例1用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.
方法2:
如右图,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,即△ABD与△ADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个等积三角形,即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积.
例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为及1∶3∶4.
方法1:
如下左图,将BC边八等分,取1∶3∶4的分点D、E,连结AD、AE,从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4.
DE,从而得到三个三角形:
△ADE、△BDE、△ACD.其面积比为1∶3∶4.
当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决.
例3如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:
△AOB与△COD面积相等.
证明:
∵△ABC与△DBC等底等高,
∴S△ABC=S△DBC
又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD.
例4如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
分析本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法,如右图,
把顶点A移到CB的延长线上的A′处,△A′BD与△ABD面积相等,从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC.问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点.
解:
①连结BD;
②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A′.
③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积.
例5如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.
解法1:
连结BD,在△ABD中
∵BE=3AE,
∴S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米).
在△ABC中,∵CD=2AD,
∴S△ABC=3S△ABD=3×
4=12(平方厘米).
解法2:
连结CE,如右图所示,在△ACE中,
∵CD=2AD,
∴S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米).
在△ABC中,∵BE=3AE
∴S△ABC=4S△ACE
=4×
3=12(平方厘米).
例6如下页图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=
连结BG,在△ABG中,
∴S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.
连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE;
S△CDF=S△ACF;
又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S△ACF;
∴S△ADE=S△CDF=4(平方厘米).
例8如右图,四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积.
连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1.
同理S△AEH=2S2,
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×
1=2.
同理,连结AC之后,可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位).
例9如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积.
连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF
而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1.
习题十三
一、选择题(有且只有一个正确答案):
1.如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
2.如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个.
(A)0个(B)1个
3.如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有______对.
(A)0对(B)1对
(C)2对(D)3对
4.如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是______.
(A)1∶1(B)1∶1.1
(C)1∶1.2(D)1∶1.4
5.如右图,长方形AEGK四周上共有12个点,相邻两点的距离都是1厘米,以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个.
(A)24个(B)25个
(C)26个(D)27个
二、填空题:
1.如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的______.
2.如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是______.
3.如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,S△BEG∶S△CEG=2∶1,S△CFG∶S△DFG=1∶1,那么这四个小三角形面积之和______.
4.如上右图,在△ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______.
三、解答题:
1.如下左图,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知S△ABC=27平方厘米,求S△DEF.
3.如下左图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点,且SABCD=54平方厘米,求S△BEF.
4.如上页右图,将四边形ABCD各边都延长一倍至A'
、B'
、C'
、D'
.连接这些点得到一个新的四边形A'
B'
C'
D'
.如果四边形ABCD的面积是1,求四边形A'
B'
C'
D'
的面积.
5.如右图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如果四边形ABCD的面积是1,求△EFG的面积?