数列专题整合文档格式.docx
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（C）
（D）
（2）等差数列 前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=
例2
（1）已知单调函数y=f（x）的定义域为R,当x<
0时,f（x）>
1,且对任意的
实数x,y∈R,等式f（x）f（y）=f（x+y）成立.若数列{an}中,a1=f（0）,f（an+1）=
（n∈N+）,则a2012的值为 （
（A）4020.
（B）4021.
（C）4022.
（D）4023.
（2）若数列{an}是正项数列,且
=n2+3n（n∈N+）,则
同类拓展2
（1）设a1=2,an+1= ,bn=| |,n∈N+,则数列{bn}的通项公式bn=
.
（2）（2011年·
四川）数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn（n≥1）,则a6等于
（
（A）3×
44.
（B）3×
44+1.（C）44.
（D）44+1.
例3
设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为
等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn;
（2）设数列{cn}满足cn=Sn×
bn,问当n为何值时,cn取得最大值?
同类拓展3
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2
的等差数列.
（1）求a2,a3;
（2）证明:
数列{an-2}为等比数列;
（3）求数列{nan}的前n项和Tn.
例4
2010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃
汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,
沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2010年的销售量为2000
0辆）,销售利润按照每年每辆比上一年减少10%（2010年销售利润为2万美
元/辆）计算.求
（1）第n年的销售利润为多少?
（2）到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车
实现盈利?
（即销售利润超过总投资,0.95≈0.59）.
同类拓展4
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位:
m2）,
其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面
积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b（单位:
m2）的旧住房.
（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;
（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30
%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?
（计算时取1.15=1.6）.
例5
数列{an}满足a1=1,且n≥2时,an=n2（ + +…+ ）.
（1）证明:
当n≥2时,
-
=
（2）试比较（1+ ）·
（1+ ）·
…·
（1+ ）与4的大小关系.
同类拓展5
（2011年·
湖南）已知函数f（x）=x3,g（x）=x+ .
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数,并说明理由;
（2）设数列{an}（n∈N+）满足a1=a（a>
0）,f（an+1）=g（an）,证明:
存在常数M,使得对
于任意的n∈N+,都有an≤M.
例6
北京）若数列An:
a1,a2,…,an（n≥2）满足 =1（k=1,2,…,n-1）,则称An为E数列,记S（An）=a1+a2+…+an.
（1）写出一个满足a1=a5=0,且S（A5）>
0的E数列A5;
（2）若a1=12,n=2000,证明:
E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;
（3）对任意给定的整数n（n≥2）,是否存在首项为0的E数列An,使得S =0?
如果存在,写出一个满足条件的E数列An;
如果不存在,说明理由.
同类拓展6
对于各项均为整数的数列,如果ai+i（i=1,2,3,…）为完全平方数,则称数列 具有“P性质”.
不论数列 是否具有“P性质”,如果存在与 不是同一数列
且 同时满足下面两个条件:
①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列;
②数列 具有“P性质”,则称数列 具有“变换P性质”.
（1）设数列 的前n项和Sn=
（n2-1）,证明数列 具有“P性质”;
（2）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换P性质”,
具有此性质的数列请写出相应的数列 ,不具此性质的说明理由;
（3）对于有限项数列A:
1,2,3,…,n,某人已经验证当n∈[12,m2]（m≥5）时,数列A具有“变换P性质”,试证明:
当n∈[m2+1,（m+1）2]时,数列A也具有“变换
P性质”.
回归课本
等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前n项和.
课本试题对比:
等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= （
（A）12.
（B）10.
（C）8.
（D）2+log35
1.对正整数n,设抛物线y2=2（2n+1）x,过P（2n,0）任作直线l交抛物线于An,Bn两
点,则数列{ }的前n项和公式是 （
（A）-n（n+1）.
（B）n（n+1）.
（C）（D）
一、选择题
1.各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5等于 （
（A）16.
（B）36.
（C）27.
（D）-27.
2.Sn是数列{an}的前n项和,则“数列{Sn}为等差数列”是“数列{an}为常
数列”的 （
（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.
（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.
3.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+ ,a2=-1,则数列{an}的首项为 （
（A）1或-2.
（B）±
1.（C）±
2.
（D）-1或2.
4.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项的和.若a1=3,a2a4
=144,则S10的值是 （
（A）511.
（B）1023.
（C）1533.
（D）3069.
5.（2011年·
江西）已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10等于 （
（A）1.
（B）9.
（C）10.
（D）55.
6.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则a11等于 （
（B） .
（C） .
（D）2.
7.已知数列{an}的通项公式an=log2 （n∈N+）,设{an}的前n项和为Sn,则
使Sn<
-5成立的自然数n （
（A）有最大值63.
（B）有最小值63.
（C）有最大值31.
（D）有最小值31.
8.在等比数列 中,a1=2,前n项和为Sn,若数列 也是等比数列,则Sn
等于 （
（A）2n+1-2.
（B）3n（C）3n-1.
（D）2n.
9.已知整数按如下规律排成一列:
（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,…,则第60个数对是 （
（A）（10,1）.
（B）（2,10）.（C）（5,7）.
（D）（7,5）.
二、填空题
11.已知各项均为正数的等比数列 中,a1+a3+a5=1,a4+a6+a8=8,则a5+a7+a9=
12.等差数列 前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0,则k=
13.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=
14.已知数列{an}和{bn}均为正项等比数列,其前n项积分别为Pn、Qn,且 =（ ,则 的值为
15.已知数列 是一个递增的等比数列,数列的前n项和为Sn,且a2=4,S3=1
4.
（1）求 的通项公式;
（2）若cn=log2an,求数列 的前n项之和Tn.
16.（2011年·
山东）等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（2）若数列{bn}满足:
bn=an+（-1）nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
a1=a（a≠0）,an+1=rSn（n∈N+,r∈R,r≠-1）.
（2）若存在k∈N+,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:
对于任意的m∈N+,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
18.数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项的和,对于n∈N+,总有an,Sn, 成等差数列.
（1）数列{an}的通项公式;
（2）设数列{ }的前n项的和为Tn,数列{Tn}的前n项的和为Rn,求证:
当n≥2时,Rn-1=n（Tn-1）;
（3）设An为数列{ }的前n项之积,是否存在实数a,使得不等式An <
a对一切n∈N+都成立?
若存在,求出a的取值范围,若不存在,
请说明理由.
19.有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk（m,k=1,2,3,…,n,n≥3）,公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.
（1）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n,p1,p2是m的多项式）,并求p1+p2的值;
（2）当d1=1,d2=3时,将数列{dm}分组如下:
（d1）,（d2,d3,d4）,（d5,d6,d7,d8,d9）,…（每组数的个数构成等差数列）.设前m组中所有数之和为（cm）4（cm>
0）,求数列{ dm}的前n项和Sn.
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