安徽省合肥一中学年第一学期高二年级第一次段考理科数学.docx
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安徽省合肥一中学年第一学期高二年级第一次段考理科数学
合肥一中2018-2019学年第一学期高二年级第一次段考
理科数学
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.已知下列命题,其中正确命题的个数是( )
①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台.
A.0B.1C.2D.3
2.下列叙述中错误的是( )
A.若点P∈α,P∈β且α∩β=l,则P∈l
B.三点A,B,C能确定一个平面
C.若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面
D.若点A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α
3.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是( )
A.2B.4C.6D.8
4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′,那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α,β都平行于γ
②存在两条不同的直线l,m,使得l⊂β,m⊂β,使得l∥α,m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等;
④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中,可以判定α与β平行的条件有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
7.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=4,则过B,E,F的平面截该正方体所得的截面周长为( )
A.64B.62C.34D.32
8.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )
A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1
9.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A.B.
C.D.
10.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=6,AD=4,AA1=3,分别过BC,A1D1的两个平行截面将长方体分成三个部分,其体积分别记为.若V1:
V2:
V3=1:
4:
1,则截面A1EFD1的面积为( )
A.B.C.D.16
11.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )
A.B.C.D.
12.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S﹣ABC的体积为( )
A.3B.2C.D.1
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.圆台的上下底面半径分别为1、2,母线与底面的夹角为60°,则圆台的侧面积为 .
14.空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=a,BC=b,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E.F.G、H.截面EFGH的面积最大值为 .
15.如图,一个盛满水的三棱锥容器,三条侧棱上各有一个小洞D,E,F,且知道SD:
DA=SE:
EB=CF:
FS=2:
1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的 .
16.如图,正四面体A﹣BCD的棱长为a,点E、F分别是棱BD、BC的中点,则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为 .
三.解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)
17.如图四边形ABCD为梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
18.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是平行四边形,
(1)求证:
BD∥截面PQMN;
(2)若截面PQMN是正方形,求异面直线PM与BD所成的角.
19.在正方体AC1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.
(1)若A1C交平面EFBD于点R,则P,Q,R三点共线.
(2)线段AC上是否存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,若存在确定M的位置,若不存在说明理由.
20.如图,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.
(Ⅰ)证明:
无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;
(Ⅱ)当EC=1时,求几何体A﹣EFD1D的体积.
21.已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上.
(1)若PM:
MA=BN:
ND=PQ:
QD,求证:
平面MNQ∥平面PBC.
(2)若Q满足PQ:
QD=2,则M点满足什么条件时,BM∥面AQC.
22.如图,已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点,点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点,AB、CD分别是两个半圆的直径,O1O2=2,直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直,直线AB、DC共面.
(1)求三棱锥D﹣ABE的体积;
(2)求直线DE与平面ABE所成的角的正切值;
(3)求直线AF与BE所成角的余弦值.
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.B
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.A
8.D
9.A
10.C
11.D
12.C
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.6π.
14.ab.
15..
16.正四面体A﹣BCD的体积为V,
表面积为S=4,
所以,正四面体A﹣BCD的内切球半径为r.
如图,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆,设圆心为P,
内切球的球心为O,则OP⊥AM,PN,AP,
MN,由AM2=NM2+AN2可得AMa,
由,可得OP,
∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆半径r1,
平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为.
三.解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)
17.由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:
圆台下底面、侧面和一半球面
S半球=8π,S圆台侧=35π,S圆台底=25π.
故所求几何体的表面积为:
8π+35π+25π=68π(7分)
由,(9分)
(11分)
所以,旋转体的体积为
18.
(1)证明:
∵截面PQMN是平行四边形,∴PN∥QM,又PN⊄平面BCD,QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD.
∵PN⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD⇒PN∥BD,
∵PN⊂截面PQMN,BD⊄截面PQMN,∴BD∥截面PQMN.
(2)解:
由
(1)的证明知PN∥BD,∴∠NPM(或其补角)是异面直线PM与BD所成的角.
∵截面PQMN是正方形,∴∠NPM=45°.
∴异面直线PM与BD所成的角是450.
19.
(1)证明:
在正方体AC1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图.
∵在正方体AC1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,A1C交平面EFBD于点R,如图.
∴P,Q,R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共点,
∴P,Q,R三点共线.
(2)解:
取AD中点G,AB中点H,连结GH,交AC于点M,
连结D1G,B1H,由题意得GH∥EF,B1H∥DE,
∵GH∩B1H=H,EF∩DE=E,
∴平面GHB1D1∥平面BDEF,
∴线段AC上存在点M,使得平面B1D1M∥平面EFBD,且M为AP中点.
20.(Ⅰ)在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1∥CC1,
∵EF∥CC1,∴EF∥DD1,(2分)
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面ABCD∩平面EFD1D=ED,
平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1,
∴ED∥FD1,∴四边形EFD1D为平行四边形,
∵侧棱DD1⊥底面ABCD,又DE⊂平面ABCD内,
∴DD1⊥DE,∴四边形EFD1D为矩形;
(Ⅱ)证明:
连接AE,∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱,
∴侧棱DD1⊥底面ABCD,又AE⊂平面ABCD内,
∴DD1⊥AE,(6分)
在Rt△ABE中,AB=2,BE=2,则;(7分)
在Rt△CDE中,EC=1,CD=1,则;
在直角梯形中ABCD,;
∴AE2+DE2=AD2,即AE⊥ED,
又∵ED∩DD1=D,∴AE⊥平面EFD1D;
由(Ⅰ)可知,四边形EFD1D为矩形,且,DD1=1,
∴矩形EFD1D的面积为,
∴几何体A﹣EFD1D的体积为.
21.
(1)证明:
∵PM:
MA=PQ:
QD.
∴QM∥AD,∵AD∥BC,∴QM∥BC,
∵QM⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
∵BN:
ND=PQ:
QD.∴QN∥PB,
即QN∥平面PBC.
∵QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面PBC;
(2)解:
连接AC,交BD于O,连接OQ,
取PQ的中点G,连接BG,则BG∥OQ,
∵OQ⊂平面AQC,BG⊄平面AQC,∴BG∥平面AQC,
取PA的中点M,连接GM,则GM∥AQ,
∵AQ⊂平面AQC,GM⊄平面AQC,∴GM∥平面AQC,
又BG∩GM=G,∴平面BGM∥平面AQC,
则BM∥面AQC,此时M为PA的中点.
22.
(1)∵,O1E=2,
∴S△ABE=2,
∵直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直,直线AB、DC共面,
∴三棱锥D﹣ABE的高等于O1O2=2,
于是,VD﹣ABE.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则,D(0,﹣1,2),E,
.
平面ABE的一个法向量为(0,0,1),
设线DE与平面ABE所成的角为θ,
则sinθ.
∴,从而.
(3)以点O1为坐标原点,,,分别为x、y、z轴的正向
建立空间直角坐标系,则A(﹣2,0,0),B(2,0,0),E,F(0,1,2),
于是(2,1,2),,
设直线AF与BE所成角为θ,从而cosθ.
∴直线AF与BE所成角的余弦值为.