数学奥林匹克专题讲座 第12讲 染色和赋值Word格式文档下载.docx

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如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×

8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；

又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。

　　例2如左下图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。

如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？

甲虫不能走遍所有的正方体。

我们如右上图将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。

显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。

甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。

故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。

因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。

由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。

　　例38×

8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×

2的正方形和9个4×

1的长方形？

如果可以，请给出一种剪法；

如果不行，请说明理由。

如下图，对8×

8的棋盘染色，则每一个4×

1的长方形能盖住2白2黑小方格，每一个2×

2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。

推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。

　　例4在平面上有一个27×

27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×

9的正方形。

按下面的规则进行游戏：

每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。

问：

是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？

如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。

按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。

这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。

　　因为一开始时，81个棋子摆成一个9×

9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。

　　如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。

　　例5图1是由数字0，1交替构成的，图2是由图1中任选

减1，如此反复多次形成的。

图2中的A格上的数字是多少？

如左下图所示，将8×

8方格黑白交替地染色。

　　此题允许右上图所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。

所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由（31＋A）-32=32，得出A=33。

　　例6有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是1×

2×

4。

现在有一批现成的木箱，内空尺寸是6×

6×

6。

能不能用这些商品将木箱填满？

我们用染色法来解决这个问题。

先将6×

6的木箱分成216个小正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2的正方体。

我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。

　　容易计算出，有14个黑色的，有13个白色的。

现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据4个。

现在白色的小正方体共有8×

13=104（个），再配上104个黑色的小正方体，一共可以放26件商品，这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。

这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。

因此不能用这些商品刚好填满。

　　例76个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。

证明：

存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。

　　证明：

将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段。

本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。

　　设这六个点为A，B，C，D，E，F。

我们先证明存在一个同色的三角形：

　　考虑由A点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色。

再考虑△BCD的三边：

若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；

若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形。

　　下面再来证明有两个同色三角形：

不妨设△ABC的三条边都是红色的。

若△DEF也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；

若△DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：

若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；

若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB。

此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；

而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形。

　　故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。

二、赋值法

　　将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。

许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。

常见的赋值方式有：

对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。

　　例8一群旅游者，从A村走到B村，路线如下图所示。

怎样走才能在最短时间内到达B村？

图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：

分）。

我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示。

　　由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。

　　例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？

请说明理由。

假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。

一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。

但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。

这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。

　　例10平面上n（n≥2）个点A1，A2，…，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。

已知A1和An涂上的颜色不同。

相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。

赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数

　　值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。

再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。

　　所有线段对应的整数值的总和为

　　（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（an-1＋an）

　　＝a1＋an＋2（a2＋a3＋…＋an-1）

　　＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋an-1）＝奇数。

　　设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则

　　2l＋m＋4n=奇数。

　　由上式推知，m必为奇数，证明完毕。

　　例11下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。

改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成C……Z变成A）。

能否经过若干次操作，使表1变为表2？

如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。

　　SOBR　　KBDS

　　TZFP　　HEXG

　　HOCN　RTBS

　　ADVX　CFYA

　　表1　　　　表2

不能。

将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2……Z用26代替）。

这样表1和表2就分别变成了表3和表4。

　　每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：

　　1→2，2→3，…，25→26，26→1。

　　19　15　2　18

　　20　26　6　16

　　8　15　3　14

　　1　4　22　24

　　　　表3

　　11　2　4　19

　　8　5　24　7

　18　20　2　19

　　3　6　25　1

　　　　表4

　　容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字的和的奇偶性没有改变。

因为表3中16个数字的和为213，表4中16个数字的和为174，它们的奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2。

　　例12如图

（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图，如果图

（1）必须放在右下图的中间一列，应如何拼？

把右上图黑、白相间染色（见上图）。

其中有11个白格和10个黑格，当图形拼成后，图形

（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格，而图形（3）必须有3格是同一种颜色，另一种颜色1格。

因为前四种图形，黑、白已各占2×

4=8（格），而黑格总共只有10格，所以图形（3）只能是3白1黑。

由此知道图

（1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图

（1）在中间一列下面的黑格中。

　　那么其它图形如何拼呢？

为了说明方便，给每一格编一个数码（见左下图）。

　　因为图（3）是3白1黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1，3，4，5）或（7，12，13，17）或（11，15，16，21）这三个位置上。

　　若放在（1，3，4，5）位置上，则图（6）只能放在（7，12，13，18）或（15，16，19，20）或（2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行的，否则角上会空出一格。

若放在（2，7，8，13）上，则图

（2）只能放在（12，17，18，19）位置上，此时不能同时放下图（4）和图（5）。

　　若把图（3）放在（7，12，13，17）位置上，则方格1这一格只能由图

（2）或图（6）来占据。

如果图

（2）放在（1，2，3，4），那么图（6）无论放在何处都要出现孤立空格；

如果把图（6）放在（1，4，5，10），那么2，3这两格放哪一图形都不合适。

因此，图形（3）只能放在（11，15，16，21）。

其余图的拼法如右上图。

练习12

　　1.中国象棋盘的任意位置有一只马，