学试题分类汇编汇编直角三角形与勾股定理Word格式文档下载.docx

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根据勾股定理得：

AB==15，

过C作CD⊥AB，交AB于点D，

又S△ABC=AC?

BC=AB?

CD，

∴CD===，

则点C到AB的距离是．

故选A

点评：

此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

2.（2012毕节）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°

，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）

A.2B.2C.4D.4

解析：

求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，

求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．

解：

∵∠A=30°

，∠B=90°

，∴∠ACB=180°

-30°

-90°

=60°

，

∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°

，∴∠DCB=60°

=30°

∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，

在△BCD中，由勾股定理得：

CB=，在△ABC中，由勾股定理得：

AC==，故选A．

本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

3.（2012湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）

A.20B.10C.5D.

【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=AB=×

10=5.

【答案】选：

C．

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。

4.（2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）

A.10B.C.10或D.10或

考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

如下图，，

故选C．

在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；

故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．

5.（2012?

荆门）下列4×

4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A．B．C．D．

根据勾股定理，AB==2，

BC==，

AC==，

所以△ABC的三边之比为：

2：

=1：

2：

，

A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：

：

3=：

3，故本选项错误；

B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：

4：

2=1：

，故本选项正确；

C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：

3：

，故本选项错误；

D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：

4，故本选项错误．

故选B．

6.（2012巴中）如图3，已知AD是△ABC的

BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A.AB=ACB.∠BAC=900

C.BD=ACD.∠B=450

【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边”

可判定△ABD≌△ACD，其它条件均不能使

△ABD≌△ACD，故选A

【答案】A

【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.

二.填空题

7.（2012巴中）已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2-a2-b2+|a-b|=0,则△ABC的形状为______

【解析】由关系c2-a2-b2+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2=c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形.应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质:

“两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.

8（2012泸州）如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

，若AB=6cm，则BC=.

在直角三角形中，根据30°

所对的直角边等于斜边

的一半，所以BC=AB=×

6=3（cm）.

答案：

3cm.

30°

所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质，

要注意前提条件是直角三角形.

9.（2012青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.

【解析】将圆柱展开，AB=．

【答案】15

【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18cm.

10．（2012河北）如图7，相交于点，于点，若，则等于　　　．

[答案]

[考点]对顶角相等，直角三角形两锐角互余

[解析]观察图形得知与是对顶角，，又在中，两锐角互余，

11.（2012南州）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）

A、（2，0）B、（）C、（）D、（）

在中，，所以，所以，故.

C.

本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度较小.

12．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．

直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。

∵∠ACB=90°

∴∠ECF+∠BCD=90°

∵CD⊥AB，

∴∠BCD+∠B=90°

∴∠ECF=∠B，

在△ABC和△FEC中，，

∴△ABC≌△FEC（ASA），

∴AC=EF，

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，

∴AE=5﹣2=3cm．

故答案为：

3．

13.（2012陕西）如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为．

【解析】设这一束光与轴交与点，作点关于轴的对称点，过作轴

于点．由反射的性质，知这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知．则．

由题意得，，由勾股定理，得．所以．

【答案】

【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、

轴对称性质以及勾股定理等.难度中等

14．（2012?

资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是　10或8　．

三角形的外接圆与外心；

勾股定理。

探究型。

直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：

①16为斜边长；

②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．

由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；

②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，

因此这个三角形的外接圆半径为10．

综上所述：

这个三角形的外接圆半径等于8或10．

10或8．

本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．

15．（2012无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°

，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　3　cm．

直角三角形斜边上的中线；

等腰三角形的判定与性质；

平移的性质。

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；

然后由平移的性质推知GH∥CD；

最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．

∵△ABC中，∠ACB=90°

，AB=8cm，D是AB的中点，

∴AD=BD=CD=AB=4cm；

又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，

∴GH∥CD，GD=1cm，

∴=，即=，

解得，GH=3cm；

故答案是：

本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．

16.（2012黔西南州）如图6，在△ABC中，∠ACB=90°

，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．

【解析】由于∠ACB=90°

，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2．

在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2―DE2=23．又因为D是BC的中点，所以BC=2CD=43．

在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213．

因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213．

【答案】10＋213．

【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决．

三.解答题

17．（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：

用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

作图—相似变换；

勾股定理的逆定理；

相似三角形的判定。

（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；

显然有AB2+AC2=BC2，

根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形；

（2）△ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，

DE=4，DF=2，EF=2．

===，

∴△ABC∽△DEF．

（3）如图：

连接P2P5，