高中数学 321几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1Word下载.docx
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，且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型
为常数
（1）指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质函数
在
上的增减性
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着
的增大，图象上升的速度逐渐变快
的增大，图象上升的速度逐渐变慢
值的不同而不同
（2）指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
减函数
衰减的速度
的增大，图象下降的速度逐渐变慢
的增大，图象下降的速度逐渐变
典例精讲剖析
例1．有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；
乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800–20x，则总费用
，在乙商场购买，费用y=600x.
（1）当0＜x＜10时，（800x–20x2）＞600x
∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.
（2）当x=10时，（800x–20x2）=600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.
（3）当10＜x≤18时，（800x–20x2）＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.
（4）当x≥18时，600x＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.
答：
若购买小于10台，去乙商场购买；
若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；
若购买多于10台，在甲商场购买.
例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金，办法如下：
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%，
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
【解析】设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，则
当0<
x<
1000时，y＝x；
当1000≤x<
2000时，
y＝1000＋（x－1000）（1－5%）＝0.95x＋50；
当2000≤x<
3000时，
y＝1000＋1000（1－5%）＋（x－2000）（1－10%）＝0.9x＋150；
当x≥3000时，
y＝1000＋1000（1－5%）＋1000（1－10%）＋（x－3000）（1－15%）＝0.85x＋300.
因此y与x的关系可用分段函数表示如下
例3．
（1）某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和（即本息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和（不计复利）．
（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
【解析】
（1）利息＝本金×
月利率×
月数．
y＝100＋100×
0.36%·
x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．
5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y（元）的关系如图所示.
如意卡
便民卡
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】
（1）由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B（30,35），C（30,15）分别代入y1，y2得
.
∴
（2）令y1=y2，即
，则
当x=96
时，y1=y2，两种卡收费一致；
当x＜96
时，y1＞y2，即如意卡便宜；
当x＞96
时，y1＜y2，即便民卡便宜.6．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售，问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
[解析]
（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b（k<
0），
，∴
，∴n＝－x＋300.
y＝－（x－300）·
（x－100）＝－（x－200）2＋10000，x∈（100,300]
∴x＝200时，ymax＝10000
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
（2）由题意得，－（x－300）·
（x－100）＝10000×
75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，∴x2－400x＋37500＝0，
∴（x－250）（x－150）＝0，∴x1＝250，x2＝150
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.B类试题（尖子班用）
1．某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为（ ）
A．45元 B．55元C．65元D．70元
[答案] D
[解析] 设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－（x－50）×
10＝1000－10x件，
故月利润为y＝（x－40）·
（1000－10x）＝－10（x－40）（x－100），
∵
，∴40<
100，
∴当x＝70时，y取最大值，故选D.
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则（ ）
A．a＝bB．a>
bC．a<
bD．a、b的大小无法确定
[答案] B
[解析] 一月份产量为a（1＋10%），二月份产量b＝a（1＋10%）（1－10%）＝a（1－1%），
∴b<
a，故选B.
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点
[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发（t＝0），跑相同多的路程（S0），甲用时（t1）比乙用时（t2）较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
4．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是（ ）
A．3.5mB．3mC．2.5mD．2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a（x－1）2＋2.
∵抛物线过点A（0,1）
∴将（0,1）点代入方程得a＝－1，∴y＝－（x－1）2＋2.
令y＝0，得x＝1＋
，x＝1－
（舍），故落在水面上的最远点B到O点距离为（1＋
）m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.
5．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．
[答案] 5514.99
[解析] 根据题意，五年后的本息共5000（1＋1.98%）5＝5514.99（元）．
6．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：
T（t）＝at2＋bt＋c（a≠0），其中温度的单位是°
C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°
C，12∶00的温度为60°
C,13∶00的温度为58°
C，则T（t）＝________.
[答案] －3t2＋t＋60
[解析] 将t＝－4，T＝8；
t＝0，T＝60；
t＝1，T＝58分别代入函数表达式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.
7．等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是
[解析] ∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x
由
得：
5<
10，故y＝20－2x （5<
10）
8．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x（分），与通话费y（元）的关系如图所示.
时，y1＜y2，即便民卡便宜.
9.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售，问：
∴（x－25
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