高中数学湘教版必修1第一章 集合与函数124Word下载.docx
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(2)函数的最小值定义:
设D是函数f(x)的定义域,如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值f(b),称f(b)为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点.
3.函数的单调性
(1)函数的单调性定义:
设I是f(x)定义域D的一个非空子集,如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)是区间I上的递增函数;
如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)是区间I上的递减函数.
(2)如果函数y=f(x)是区间I上的递增函数或递减函数,就说f(x)在I上严格单调,区间I叫作f(x)的严格单调区间.
(3)对于函数f(x),设h>0,差式f(x+h)-f(x)叫作函数在区间I上的差分.差分为正的函数就是递增函数,差分为负的函数就是递减函数.
要点一 判断或证明函数的单调性
例1 证明函数f(x)=x+
在(1,+∞)上是递增函数.
证明 f(x+h)=x+h+
,
∴f(x+h)-f(x)=x+h+
-x-
=h+
-
=h-
=
.
∵h>0,x>1,∴hx2+h2x-h>0,x(x+h)>0.
∴
>0.
即差分f(x+h)-f(x)>0,
∴f(x)=x+
规律方法 证明函数单调性的步骤是:
(1)作差分f(x+h)-f(x);
(2)变形整理;
(3)判断差分的符号;
(4)下结论.
跟踪演练1
(1)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)D.不能确定
(2)证明函数f(x)=
在(0,+∞)上为单调递减函数.
(1)答案 D
解析 因为在函数的定义中特别强调了x1,x2两个值必须属于同一个单调区间,不是同一单调区间时不能比较函数值的大小,因此,f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定,故选D.
(2)证明 f(x+h)-f(x)=
∵x>0,h>0,∴
<0.
即差分f(x+h)-f(x)<0,故f(x)=
要点二 求函数的单调区间
例2 分别作出下列函数图象,写出它们的单调区间.
(1)y=x2+2x;
(2)y=2|x|;
(3)y=-x2+2|x|+3.
解
(1)函数y=x2+2x在(-∞,-1]上是递减函数,在[-1,+∞)上是递增函数.
(2)y=2|x|=
图象如图:
函数y=2|x|在(-∞,0]上是递减函数,在[0,+∞)上是递增函数.
(3)∵f(x)=
函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1]上是递增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是递减函数.
规律方法 利用函数的图象确定函数的单调区间,具体的做法是,先化简函数的解析式,然后再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间.书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格的规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,若函数在区间端点处无定义,则必须写成开区间.
跟踪演练2 作出函数y=x|x|+1的图象并写出其单调区间.
解 由题意可知y=
作出函数的图象如图所示,所以原函数在(-∞,+∞)上为单调递增函数.
要点三 函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的递增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围.
解 因为f(x)是定义在[-1,1]上的递增函数,
且f(x-2)<f(1-x),
所以有
解得
即x的取值范围是1≤x<
规律方法 1.单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上,解题时注意采用数形结合的方法求解.已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时,要求自变量首先应在定义域内,这是一个容易出现错误的地方,然后在此基础上利用函数的单调性,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解.
2.利用函数的单调性求最值时,首先要证明或判断函数的单调性,若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最小值为f(a),最大值为f(b);
若f(x)在[a,b]上单调递减,则最小值为f(b),最大值为f(a).
跟踪演练3
(1)若函数y=x2-2ax+2在[1,+∞)上为递增函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)=
在[2,4]上的最值.
解
(1)由题意可知原函数为y=(x-a)2+2-a2,其开口向上,且对称轴为x=a,若使得原函数在[1,+∞)为递增函数,则只需对称轴x=a在直线x=1的左侧或与其重合,即满足a≤1即可,所以实数a的取值范围是a≤1.
(2)∵f(x+h)-f(x)=
又∵h>0,x>2,∴
故f(x)在[2,4]上单调递增.
于是f(x)在[2,4]上的最大值是f(4)=
,最小值是f
(2)=0.
1.函数y=-x2的单调递增区间为( )
A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)
答案 A
解析 由图象可知,y=-x2的单调递增区间是(-∞,0],选A.
2.函数f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值,最小值分别为( )
A.f
(2),f(-2)B.f(
),f(-1)
C.f(
),f(-
)D.f(
),f(0)
答案 C
3.设一次函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的递减函数,则a的取值范围为( )
A.a>
B.a<
C.a≥
D.a≤
答案 B
解析 f(x+h)-f(x)=[(2a-1)(x+h)+b]-[(2a-1)x+b]=(2a-1)h,
依题意(2a-1)h<0,而h>0,
∴2a-1<0,即a<
,选B.
4.若函数f(x)在区间I上是单调递增函数,则对任意的x1,x2∈I(x1≠x2),必有( )
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤0
D.(x1-x2)[f(x1-f(x2))]≥0
解析 由于f(x)在I上单调递增,所以当x1<x2时有f(x1)<f(x2);
当x1>x2时有f(x1)>f(x2),因此必有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,选B.
5.若f(x)是R上的单调递减函数,且f(x1)>f(x2),则x1与x2的大小关系是________.
答案 x1<x2
解析 由定义知当f(x1)>f(x2)时一定有x1<x2.
1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.
2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数f(x)=
在(-∞,0)和(0,+∞)上都是递减函数,但不能说函数f(x)=
在定义域上是递减函数.
3.求单调区间的方法:
(1)图象法;
(2)定义法;
(3)利用已知函数的单调性.
4.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤.
若f(x)>0,则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决,即“取值——作比变形——与1比较——判断”.
5.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最值的几何意义不难得出.
6.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法,特别当函数图象作不出来时,单调性几乎成为首选方法.
一、基础达标
1.下列说法中,正确的有( )
①若任意x1,x2∈I,当x1<x2时,
>0,则y=f(x)在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-
在定义域上是增函数;
④函数y=
的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析 当x1<x2时,x1-x2<0,由
>0知f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),①正确;
②、③、④均不正确.
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y=|x|B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+4
解析 (排除法)函数y=3-x在R上为减函数,函数y=
在(0,+∞)上是减函数,函数y=-x2+4在[0,+∞)上是减函数.
3.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(-∞,40)B.[40,64]
C.(-∞,40]∪[64,+∞)D.[64,+∞)
解析 对称轴为x=
,则
≤5或
≥8,解得k≤40或k≥64.
4.若f(x)为R上的增函数,kf(x)为R上的减函数,则实数k的取值范围是( )
A.k为任意实数B.k>0
C.k<0D.k≤0
解析 由函数单调性的定义,设x是任意实数,且h>0,x<x+h,则f(x)<f(x+h),且kf(x+h)<kf(x),得出f(x)-f(x+h)<0,k[f(x)-f(x+h)]>0,则k<0.
5.函数y=x|x-1|的单调递增区间是________________.
答案 (-∞,
],[1,+∞)
解析 画出函数y=x|x-1|=
的图象,
如图,可得函数的增区间为(-∞,
],[1,+∞).
6.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f
(1)=________.
答案 -3
解析 f(x)=2(x-
)2+3-
由题意得
=2,∴m=8,则f(x)=2x2-8x+3,
∴f
(1)=2×
12-8×
1+3=-3.
7.证明:
f(x)=-2x+5在R上是单调递减函数.
证明 f(x+h)-f(x)=[-2(x+h)+5]-(-2x+5)=-2h<0,
即f(x+h)-f(x)<0.
故f(x)在R上是单调递减函数.
二、能力提升
8.如果函数f(x)=