《全等三角形的判定与性质》第3课时教案探究版Word文档格式.docx

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1．三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）

2．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

3．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）

利用这些基本事实我们可以证明许多几何结论，今天我们就来尝试证明．

设计意图：

通过复习回顾，让学生进一步巩固作为证明基础的一些基本事实，引导学生步入尝试推理认证殿堂，从而调动学生学习的积极性和主动性．

二、探究新知

如图，已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．

相等的角是：

∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F．

我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，下面我们共同来探究如何用基本事实和已经证过的定理来证明它．

（一）首先，将文字语言描述的命题用符号语言表示出来，并分别写出已知、求证．

（二）然后进行解题分析，可以采用逆向思维的方式，寻找使两个三角形全等的条件．

（三）写出证明过程，证明过程要以公理和已证明过的定理为基础，做到每步都应有根有据．

已知：

在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′．（如图所示）

求证：

△ABC≌△A′B′C′．

分析：

要证△ABC≌△A′B′C′，根据基本事实和题目的已知，只要证∠A＝∠A＇就可以了．

证明：

在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

， 

①

在△A＇B＇C＇中，∠A＇＋∠B＇＋∠C＇＝180°

． 

②

由①得∠A＝180°

－∠B－∠C，

由②得∠A＇＝180°

－∠B＇－∠C＇．

∵∠B＝∠B＇，∠C＝∠C＇．∴∠A＝∠A＇．

又∵AB＝A＇B＇，∠B＝∠B＇，∴△ABC≌△A＇B＇C＇（ASA）．

通过上面的证明我们得到以下定理：

文字语言：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．（AAS）

符号语言：

在△ABC与△A′B′C′中，

∵∠A=∠A′，

∠C=∠C′，

AB=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

此定理在以后和证明中可直接运用．

我们把三角形的内角和定理和“ASA”公理作为证明的基础，按照一定的程序步骤完成了结论的证明，证明过程中着重讲清楚分析过程和解题步骤．

三、典例精讲

例1已知：

如图，线段AB和CD相交于点O，线段OA=OD，OC=OB

AC=BD，∠A=∠D

证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、基本事实和已证明的定理，经过一步步的推理最后证实结论的过程．

在△OAC和△ODB中，

∵OA=OD，

∠AOC=∠BOD，

OC=OB，

∴△OAC≌△ODB（SAS）．

∴AC=BD，∠A=∠D（全等三角形的定义）．

通过此例让学生学会在三角形中，要证线段或角相等，只要证明三角形全等就可以了．

例2．如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，

△ABD≌△ACD．

∵D是BC的中点，

∴BD＝DC．

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性，体会证明过程的规范性．

例3．如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，B、E、F、C在同一直线上，

△ABF≌△DCE．

∵BE＝CF，

∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SSS）．

通过此例，加深学生对证明的过程与格式的认识．

方法总结：

证明的一般步骤：

（1）根据题意，画出图形．

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．

（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．

四、课堂练习

1．已知：

如图，AB＝AD，BC＝DC，

△ABC≌△ADC．

2．已知：

如图，AB＝DC，AD＝BC．

∠A＝∠C．

要证明∠A＝∠C，可设法使它们分别在两个三角形中，为此只要连接BD即可．

第1题学生独立完成，第2题学生独立思考后，教师点拨．

答案：

1．证明：

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

2．证明：

连接BD．

在△BAD和△DCB中，

∴△BAD≌△DCB（SSS）．

∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

通过练习，熟悉全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生探索与发现问题的能力．

五、课堂小结

1．基本事实与定理：

基本事实：

（1）三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）

定理：

2．证明步骤：

培养学生归纳整理知识的能力和习惯．

六、布置作业

1．如图，AB＝CD，AC＝BD，△ABC和△DCB是否全等？

试说明理由．

2．已知，如图，线段AB和CD相交于点O，线段OA=OD，OC=OB．

△OAC≌△ODB．

3．如图，已知AB＝CD，AD＝CB，E，F分别是AB，CD的中点，且DE＝BF．求证∠ADE＝∠CBF．

1．解：

△ABC≌△DCB．

理由如下：

在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB（SSS）．

∵线段AB和CD相交于点O，

∴∠AOC=∠DOB，

又∵在△OAC和△ODB中，OA=OD，OC=OB，

∴△OAC≌△ODB．（SAS）．

3．证明：

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE＝

AB，CF＝

CD．

又∵AB＝CD，

∴AE＝CF．

在△ADE与△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SSS）．

∴∠ADE＝∠CBF（全等三角形对应角相等）．

七、课堂检测

1．如图，已知AB＝AC，BD＝DC，那么下列结论中不正确的是（）．

A．△ABD≌△ACDB．∠ADB＝90°

C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC

2．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°

，∠C=25°

，则∠BED的度数是（）

A．70°

B．85°

C．65°

D．以上都不对

3．如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°

，∠F＝32°

，则∠ABC＝．

4．如图，是一个风筝模型的框架，由DE＝DF，EH＝FH，说明∠DEH＝∠DFH．试用你所学的知识说明理由．

5．如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC，请说明∠A＝∠C．

6．已知:

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：

△ABD≌△CDB．

1．C．利用SSS证明两个三角形全等．2．A

3．76°

．先证明全等，再利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理．

4．证明：

由已知DE＝DF，EH＝FH，连接DH，这是两三角形的公共边，于是，在△DEH和△DFH中，

∴△DEH≌△DFH（SSS）．

∴∠DEH＝∠DFH（全等三角形的对应角相等）．

5．分析：

已知OA＝OC，EA＝EC，OA，EA和OC，EC恰好分别是△EAO和△ECO的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决．

连接OE．

在△EAO和△ECO中，

∴△EAO≌△ECO（SSS）．

6．证明：

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，

又BD为两三角形的公共边，

∴△ABD≌△CDB．（AAS）