高中数学人教A版选修12教学案第一章 11 回归分析的基本思想及其初步应用Word格式文档下载.docx
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（3）R2＝1－越接近1，表示回归的效果越好．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）残差平方和越小，线性回归方程的拟合效果越好．（ ）
（2）在画两个变量的散点图时，预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．（ ）
（3）R2越小，线性回归方程的拟合效果越好．（ ）
答案：
（1）√
（2）×
（3）×
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．
正相关
3．在残差分析中，残差图的纵坐标为________．
残差
4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于________，解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．
0 1或－1
求线性回归方程
[典例] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x
6
8
10
12
y
2
3
5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
[解]
（1）散点图如图：
（2）iyi＝6×
2＋8×
3＋10×
5＋12×
6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344．
＝＝＝0．7，＝－＝4－0．7×
9＝－2．3，
故线性回归方程为＝0．7x－2．3．
（3）由
（2）中线性回归方程知，当x＝9时，＝0．7×
9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．
求线性回归方程的三个步骤
（1）画散点图：
由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系．
（2）求回归系数：
若存在线性相关关系，则求回归系数．
（3）写方程：
写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．
[活学活用]
某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：
月份
1
4
7
产量（吨）
5．6
6．0
6．1
6．4
7．0
7．5
8．0
8．2
成本（万元）
130
136
143
149
157
172
183
188
以产量为x，成本为y．
（1）画出散点图；
（2）y与x是否具有线性相关关系？
若有，求出其回归方程．
解：
（1）由表画出散点图，如图所示．
（2）从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．
xi
yi
xiyi
31．36
728．0
36．00
816．0
37．21
872．3
40．96
953．6
49．00
1099．0
56．25
1290．0
64．00
1464．0
67．24
1541．6
∑
54．8
1258
382．02
8764．5
计算得＝6．85，＝157．25．
∴＝
＝≈22．17，
＝－＝157．25－22．17×
6．85≈5．39，
故线性回归方程为＝22．17x＋5．39．
回归分析
题点一：
线性回归分析
1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
14
16
18
20
22
求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的程度．
＝（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝（12＋10＋7＋5＋3）＝7．4．
＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
iyi＝14×
12＋16×
10＋18×
7＋20×
5＋22×
3＝620，
可得回归系数＝＝＝－1．15．
所以＝7．4＋1．15×
18＝28．1
所以回归直线方程：
＝－1．15x＋28．1．
列出残差表：
yi－i
0．3
－0．4
－0．1
0．2
yi－
4．6
2．6
－2．4
－4．4
则（yi－i）2＝0．3，（yi－）2＝53．2．
R2＝1－≈0．994．
所以回归模型的拟合效果很好．
题点二：
非线性回归分析
2．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下
时间x/天
繁殖个数y
25
49
95
190
（1）用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；
（2）求y与x之间的回归方程．
（1）散点图如图所示：
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y1＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则
z
1．79
2．48
3．22
3．89
4．55
5．25
由计算器算得，＝0．69x＋1．112，则有＝e0．69x＋1．112．
（1）当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归方程．判断拟合效果的好坏需要利用R2确定，R2越接近1，说明拟合效果越好．
（2）非线性回归方程的求法
①根据原始数据（x，y）作出散点图；
②根据散点图，选择恰当的拟合函数；
③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；
④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程．
层级一 学业水平达标
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据（xi，yi），i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是（ ）
A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
C．②④③①⑤D．②⑤④③①
解析：
选D 对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（xi，yi），i＝1,2，…，n；
根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；
故正确顺序是②⑤④③①，故选D．
2．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
选D ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；
对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．
3．下图是根据变量x，y的观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（ ）
A．①②B．①④
C．②③D．③④
选D 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．
4．（重庆高考）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（ ）
A．＝0．4x＋2．3B．＝2x－2．4
C．＝－2x＋9．5D．＝－0．3x＋4．4
选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D．且直线必过点（3,3．5）代入A，B得A正确．
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y（万元）
6．2
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（ ）
A．11．4万元B．11．8万元
C．12．0万元D．12．2万元
选B 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×
10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×
15＋0．4＝11．8（万元）．
6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温（℃）
12．51
12．84
13．69
13．33
12．74
13．05
年降雨量（mm）
542
507
813
574
701
432
464
根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．（填“具有”或“不具有”）
画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
不具有
7．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．
8．下列说法正确的命题是________（填序号）．
①回归直线过样本点的中心（，）；
②线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点；
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
④在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好．
由回归分析的概念知
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