一次函数经典题型及解析复习专用Word文档下载推荐.docx
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直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-
,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.
知识点4一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k>0时,y的值随x值的增大而增大;
②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);
(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;
①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;
②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.
(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;
①如图11-18(l)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图11-18
(2)所示,当k>0,b﹥O时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);
③如图11-18(3)所示,当k﹤O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图11-18(4)所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:
直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点3正比例函数y=kx(k≠0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点4点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系
(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;
(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.
例如:
点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;
点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.
知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.
知识点6待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:
函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.
知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);
(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.
解:
设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意可知,
解
∴此函数的关系式为y=
.
【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:
第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且k≠0);
第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b);
第三步,求(把求得的k,b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中);
第四步,写(写出函数关系式).
思想方法小结
(1)函数方法.
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.
(2)数形结合法.
数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.
知识规律小结
(1)常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时,直线经过原点;
当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.
②当k,b异号时,即-
>0时,直线与x轴正半轴相交;
当b=0时,即-
=0时,直线经过原点;
当k,b同号时,即-
﹤0时,直线与x轴负半轴相交.
③当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;
当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;
当k﹤O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;
当k﹤O,b=0时,图象经过第二、四象限;
当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.
(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;
当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2
y1与y2相交;
②
y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③
y1与y2平行;
④
y1与y2重合.
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.
例1下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=-
x;
(2)y=-
;
(3)y=-3-5x;
(4)y=-5x2;
(5)y=6x-
(6)y=x(x-4)-x2.
[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.
(1)(3)(5)(6)是一次函数,(l)(6)是正比例函数.
例2当m为何值时,函数y=-(m-2)x
+(m-4)是一次函数?
[分析]某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0.
∵函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数,
∴
∴m=-2.
∴当m=-2时,函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数.
小结某函数是一次函数应满足的条件是:
一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:
常数项为0.
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括:
(1)会确定函数关系式及求函数值;
(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;
(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;
(4)利用待定系数法求函数的表达式.
例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.
[分析]
(1)弹簧每挂1kg的物体后,伸长0.5cm,则挂xkg的物体后,弹簧的长度y为(l5+0.5x)cm,即y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值,即0≤x≤18.
(3)由y=15+0.5x可知,y是x的一次函数.
(l)y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围是0≤x≤18.
(3)y是x的一次函数.
学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是.
老师评一评研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.
火车从乌鲁木齐出发,t小时所走路程为58t千米,此时,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s=600,所以,s=600-58t.
例4某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(时)的函数:
M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12时,t=1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为℃.
[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t的具体值.从题中可以知道,t=0表示中午12时,t=1表示下午1时,则上午10时应表示成t=-2,当t=-2时,M=(-2)3-5×
(-2)+100=102(℃).
答案:
102
例5已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7代入y-3=kx中,得
7-3=2k,
∴k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2×
4+3=11.
(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=
.
学生做一做已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是.
老师评一评由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为y=k(x+1).
再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).
∵当x=5时,y=12,
∴12=(5+1)k,∴k=2.
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要误认为y=kx+1.
例6若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是()
A.m﹤OB.m>0
C.m﹤
D.m>M
[分析]本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m﹤O,∴m>