线性代数二次型.docx

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线性代数二次型

二次型与对称矩阵

一、二次型及其矩阵

1定义：

含有个变量的二次齐次函数：

称为二次型。

　　　　为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：

令，　　，

则　，且为对称矩阵。

　　　　由于对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。

例1设

试求二次型矩阵.

解,,,,,.

于是得

，

例2已知三阶矩阵和向量,其中

.

求二次型的矩阵.

解由于不是对称矩阵,故不是二次型的矩阵.因为

故此二次型的矩阵为

.

二、线性变换

1　标准形

　　定义：

形如的二次型称为二次型的标准形。

显然：

其矩阵为对角阵。

2线性变换

定义：

关系式称为由变量到变量的一个线性变量替换，简称线性变换。

矩阵称为线性变换的矩阵。

记，，则线性变换可用矩阵形式表示为：

若，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。

，其中，

而

若线性变换是非退化的，便有：

三、矩阵的合同

1定义：

设，为阶方阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同。

容易知道：

二次型的矩阵与经过非退化线性变换得到的矩阵是合同的。

2合同的性质

反身性：

任一方阵都与它自己合同

②对称性：

如果方阵与合同，那么也与合同

③传递性：

如果方阵与合同，与合同，那么与合同

3定理：

若矩阵与合同，则与等价，且。

4定理：

任何一个实对称矩阵都合同于一个对角阵（是以的个特征根为对角元的对角阵）。

即存在可逆矩阵，使得。

化二次型为标准形

一、正交变换法

定理：

任给二次型，总有正交变换使化为标准形：

（其中是对称矩阵的特征根）

　　例：

　求一个正交变换，化二次型为标准形。

　　解：

二次型的矩阵为：

　　　　由，求得的特征根为：

，，

　　　　特征根对应的特征向量为：

；

　　　　特征根对应的特征向量为：

　　　　显然与都正交，但不正交。

　　正交化：

取，

　再将单位化，得　

　　于是正交线性变换为：

　　使原二次型化为：

　　注意：

二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。

二、配方法

对任意一个二次型，也可用配方法找到满秩变换，化二次型为标准形。

　1　二次型中含有平方项

　例：

化二次型为标准形，并求出所用的变换矩阵。

解　

　　　令　，即

令，则，所求的满秩变换为，即，

则原二次型化为标准形：

2　二次型中不含平方项

　例：

用配方法化二次型为标准形，并求出所用的满秩线性变换。

　解：

令，则原二次型化为：

　　　　再按前例的方法有：

　　　　令，　则原二次型化为：

　　　　其中的满秩变换为两变换的合成，即：

　　　由第一次变换得：

　　　由第二次变换得：

　　　所以有合成的满秩变换为：

　　　即　　　　　

三、初等变换法

由于任一二次型都可以找到满秩线性变换将其化为标准形，即存在可逆矩阵，使为对角阵；由于可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使。

则，所以

①

②

表示对实对称矩阵施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为

例：

用初等变换法化二次型为标准形，并求出相应的满秩线性变换。

解：

二次型的矩阵：

，

所以，

原二次型化为

惯性定理和二次型的正定性

一、惯性定理和规范形

在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式：

再令线性变换：

，则原二次型化为：

定义：

形如上式的标准形称为二次型的规范形。

定义：

称规范形中正项的个数称为二次型的正惯性指标，负项个数称为二次型的负惯性指标，是二次型的秩。

注：

规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。

虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。

定理：

任一实二次型都可以经过满秩变换化为规范形，且规范形唯一。

因而，对任一实对称矩阵，都存在满秩矩阵，使，称为的（合同）规范形。

定理：

实对称矩阵与合同的充分必要条件是与有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。

矩阵合同的性质

（1）任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;

（2）与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;

（3）两个实对称矩阵合同的充要条件

①有相同的秩,②有相同的正惯性指数.

二、二次型的正定性

1、正（负）定二次型的概念

定义：

设实二次型，若对任意不全为零的实数，总有，则称为正（负）定二次型，并称对称矩阵为正（负）定矩阵，记作。

定义：

若对任意不全为零的实数，总有，则称实二次型为半正（负）定二次型，其矩阵为半正（负）定矩阵。

2、判定方法

定理：

若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：

（1）是正定二次型（或A是正定矩阵）；

（2）的个特征值全为正；

（3）的标准形的个系数全为正；

（4）的正惯性指数为；

（5）与单位矩阵合同（或为的规范形）;

（6）存在可逆矩阵，使得;

（7）的各阶顺序主子式均为正，即。

定理：

若是阶实对阵矩阵，则下列命题等价：

（1）是负定二次型（或A是负定矩阵）；

（2）的个特征值全为负；

（3）的标准形的个系数全为负；

（4）的负惯性指数为；

（5）与负单位矩阵合同（或为的规范形）;

（6）存在可逆矩阵，使得;

（7）的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即。

1、判定实二次型是否正定。

　解：

　，因，，

　　　　所以实二次型是正定的。

2、设二次型，

试问为何值时，该二次型是正定的？

解：

因二次型的矩阵为：

，为使所给二次型正定，的各阶顺序主子式应大于零，从而有：

，，

　　　，

　　由　　　　得：

　　所以当时，所给实二次型是正定的

3、二次型，则的正惯性指数为？

4、三阶的实对称矩阵的特征值为,,则二次型

的规范形为

分析实对称矩阵可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型就化为标准形.

解由已知条件,二次型的标准形为,故其规范形为.

5、任何一个阶满秩矩阵必定与阶单位矩阵（）.

合同相似等价以上都不对

解任一个阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为阶单位矩阵,故阶满秩矩阵都与阶单位矩阵等价.

只有单位矩阵与单位矩阵相似.

只有正定矩阵与单位矩阵合同.

6、设,则与（）

（A）合同且相似.（B）合同但不相似.（C）不合同但相似.（D）不合同且不相似.

解选（A）.为实对称矩阵且的特征值为.

7、，则（）

（A）A与B即合同又相似

（B）A与B合同而不相似

（C）A与B不合同而相似

（D）A与B即不合同也不相似

解：

（B）

B的特征值1，1，0

，特征值为，即3，3，0

A与B特征值不相同，但正、负性都一样。

8、，则在实数域上与A合同的是（）

（A）（B）（C）（D）

解：

（D）

，特征值为-1，3

，特征值为-3，-1

，特征值为3，1

，特征值为1，3

，特征值为3，-1

9、已知实二次型经正交变换x=Py可化标准型，则

【详解】二次型

所对应矩阵为

标准型所对应矩阵为

根据题设知A，B为相似矩阵，所以A，B的特征值相同，可见A的三个特征值为6,0,0.

而

可见故有

10、已知二次曲面方程可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程,求,的值.

解二次型的矩阵为

原二次型的矩阵为

.

由题意,这两个矩阵相似.所以有,即,解得;再由,得.

11、已知二次型

的秩为2.

（1）求参数及此二次型对应矩阵的特征值.

（2）指出方程表示何种曲面.

解

（1）二次型的矩阵.由.又的特征多项式

则的特征值.

（2）二次型在某一正交变换下的标准形,则表示椭圆柱面.

12、设是阶正定阵,是阶单位阵,证明:

的行列式大于1.

证设的特征值为,则的特征值为.

因是正定阵,所以,所以的特征值,于是

.