五年级下学期培优.docx

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专题一数的整除特征

知识对对碰

1.常见数整除的特征

（1）能被11整除的数的特征。

奇位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11的倍数。

（2）能被7（11或13）整除的数的特征：

最后三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得差是0，这个数既能被7整除．；也能被11（或13）整除。

如果所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就能被7（11或13）整除。

（3）能被3（或9）整除的数的特征：

各位数字之和为3（或9）的倍数。

（4）能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数为4（或25）的倍数。

（5）能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数为8（或125）的倍数。

（6）能被6整除的数的特征：

这个数既是2的倍数，又是3的倍数。

2.数整除的性质

（1）如果数a，b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么口c也能被b整除。

（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。

（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

名题典中题

例1（★）判断25102能不能被7或11或13整除。

例2（★）在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除。

例3（★）自然数N由两种数字O和8组成，且是15的倍数。

当N可能小时，它是15的多少倍？

例4（★）在685后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合条件的最小六位数是多少？

例5（★）已知一个五位数□l691□能被55整除，那么符合题意的五位数是几？

例6（★★）四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267。

问：

在这些答案中哪一个可能是正确的？

为什么？

例7（★★）试将1，2，3，4，5，6，7分别填人下面的方框中，每个数字只用1次：

（这是一个三位数）

□□□（这是一个三位数）

□（这是一位数）

使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。

例8（★★★）三个连续自然数在100～200之间，其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。

例9（★★★）如果下面这个41位数能被7整除，那么中间方格内的数字是几？

例10（★★★）用0，1，2，…，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。

将这个十位数依次分成三段，每一段不少于三位数。

第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？

（只要求写1个答案）

魔法训练营

1．在25□79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填____。

2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立。

□+□+□=50

3．有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？

4．把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。

5．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数，求是多少。

6．用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除……前九位能被9整除。

已知第七位是7，求这个九位数。

7.173□是个四位数，在□中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。

8．在□内填上合适的数，使五位数7□36□能被15整除，共有几种不同的填法？

9．小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。

聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？

10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？

专题二质数、合数及分解质因数

知识对对碰

1.概念

质数：

一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。

合数：

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。

互质数：

公约数只有1的两个数叫做互质数。

分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。

如12=2×2×3。

这时2和3都是12的质因数。

2.性质

（1）任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。

（2）1既不是质数，也不是合数；

质数有无限多个；

最小的质数是2；

在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数；

每个质数只有两个约数：

l和它本身。

（3）如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。

（4）合数有无限多个；

最小的合数是4；

每个合数至少有三个约数。

（5）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：

是自然数，它们分别是P1，P2，…，Pn的指数），此式称为Ⅳ的标准分解式。

3.分解质因数的方法

主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。

名题典中典

例1（★）连续9个自然数中至多有几个质数？

例2（★）边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？

例3（★）某小学六年级（4）班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组。

老师与学生每人种同样棵数的树，一共种了364棵。

问六（4）班有学生多少人，每人种树多少棵？

例4（★）五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。

例5（★★）如图4-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点的数之和相等。

问这6个质数的积是多少？

例6（★★）100×101×102×…×2001×2002的末尾有多少个连续的0？

例7（★★）已知，其中p、q为质数，且P、q均小于1000，奇数，求的最大值。

例8（★★）a、b、c都是质数，如果（a+b）×（b+c）=342，求a、b、c。

例9（★★）问360中共有多少个约数。

例10（★★）一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。

例11（★★）把后面8个数14，30，33，35，39，75，143，169等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

例12（★★★）已知a×（b+c）=209，请把a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。

魔法训练营

1.2340有多少个约数？

2．有两个质数的和是33，求这两个质数的积。

3．四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学生得第几名？

分数是多少？

4．已知自然数1111155555是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？

5．原价5元一本的书，降低几角钱出售，共得款235元。

那么售出书多少本？

6．有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，这是两个怎样的质数？

7．a与b是两个大于1的自然数，a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b都是质数。

则a+b=____。

8．两个相邻自然数的积是1980，求这两个相邻的自然数。

9．在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？

10.在乘积1000×999×998×…×3×2×l中，末尾连续有多少个零？

11.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成几个质数？

12.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400，求这三个自然数。

专题三最大公约数和最小公倍数

知识对对碰

1.基本知识

（1）约数与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

自然数a，b的最大公约数记作（a，b），例如（12，8）=4，（4，6，10）=2。

如果（a，b）=l，则a与b互质。

如果a是b的倍数，则（a，b）=b。

自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

（2）倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：

[4，10]=20。

（3）求解方法

①求最大公约数常用的方法：

短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。

②求最小公倍数常用的方法：

短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。

2.性质

（1）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。

（2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。

如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1。

（3）若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。

或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

（4）两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例1（★）已知两个数分别是4和B，已知4=2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。

例2（★）一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？

例3（★）三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？

例4（★）在1500-8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？

例5（★）将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？

（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

例6（★）加工某种机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。

例7（★★）有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。

现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。

例8（★★）四

（1）班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。

问