第8章 第3节Word下载.docx
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[解析] A选项中由l∥α,l∥β不能确定α与β的位置关系,C选项中由α⊥β,l⊥α可推出l∥β或lβ,D选项由α⊥β,l∥α不能确定l与β的位置关系.
4.(文)已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
[答案] C
[解析] a、b是异面直线,直线c∥直线A.因而c不与b平行,否则,若c∥b,则a∥b,与已知矛盾,因而c不与b平行.
(理)给出下列命题:
①和一条直线都相交的两条直线在同一个平面内;
②三条两两相交的直线在同一个平面内;
③有三个不同公共点的两个平面重合;
④两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
[解析] 对于①两条直线可以异面;
对于②三条直线若交于一点,则可以异面;
对于③这三点若共线,则两平面可以相交;
对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面.
5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β
B.若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线
C.若α∩β=m,n∥m,且n⃘α,n⃘β,则n∥α且n∥β
D.若α⊥β,m∥n,n⊥β,则m∥α
[解析] ∵n∥m,mα,n⃘α,
∴n∥α,同理有n∥β,故C正确.
6.(文)已知a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;
②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,bβ,a⊥b,则b⊥α;
④若aα,bα,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )
A.①②③B.①③
C.②③D.①②③④
[分析] 本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题,解答时注意选择合适的图形来说明,还要能举出反例.
[解析] ①错误,三个平面可以两两相交且交线互相平行;
④错误,a,b相交时结论才成立.
(理)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 取C1D1的中点G,连OG,GE,易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角.
在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE=
=
.
二、填空题
7.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.
[答案] 1或4
[解析] 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;
否则确定四个平面.
8.(文)已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:
①两条平行直线;
②两条互相垂直的直线;
③同一条直线;
④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
[答案] ①②④
[解析] 只有当a∥b时,a,b在α上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余都有可能.
(理)对于空间三条直线,有下列四个条件:
①三条直线两两相交且不共点;
②三条直线两两平行;
③三条直线共点;
④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.
其中,使三条直线共面的充分条件有________.
[答案] ①④
[解析] ①中两直线相交确定平面,则第三条直线在这个平面内;
②中可有线和平面平行;
③中直线最多可确定3个平面;
④同①.
9.空间四边形ABCD中,各边长均为1,若BD=1,则AC的取值范围是________.
[答案] (0,
)
[解析] 如图①所示,△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形,当△ABD与△CBD重合时,AC=0,将△ABD以BD为轴转动,到A,B,C,D四点共面时,AC=
,如图②,故AC的取值范围是0<
AC<
三、解答题
10.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点,请回答下列问题:
(1)满足什么条件时,四边形EFGH为平行四边形?
(2)满足什么条件时,四边形EFGH为矩形?
(3)满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?
[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形,首先转化为线线平行问题,而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.
[解析] 本题是一个开放性问题.
(1)E、F、G、H为所在边的中点时,四边形EFGH为平行四边形.证明如下:
∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,且EH=
BD.
同理,FG∥BD,且FG=
BD,从而EH∥FG,且EH=FG,
所以四边形EFGH为平行四边形.
一般地
时四边形EFGH为平行四边形.
(2)
且BD⊥AC时,四边形EFGH为矩形.
(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC,AC=BD时,四边形EFGH为正方形.
[点评] 上述答案并不唯一,如当AEAB=AHAD=CFCB=CGCD时,四边形EFGH也为平行四边形.
1.(文)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )
A.aα,bαB.aα,b∥α
C.a⊥α,b⊥αD.aα,b⊥α
[解析] a、b异面时,A错,C错;
若D正确,则必有a⊥b,故排除A、C、D,选B.
(理)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM成60°
的角;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.其中正确的是( )
A.①②B.③④
C.②③D.①③
[解析] 如图,画出折叠后的正方体后,由正方体的性质知①③正确,故选D.
2.(文)如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( )
A.互相平行
B.异面且互相垂直
C.异面且夹角为
D.相交且夹角为
[解析] 将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为
.故选D.
(理)(2014·
安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°
的共有( )
A.24对B.30对
C.48对D.60对
[解析] 解法1:
先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°
角的对数,然后根据正方体六个面的特征计算总对数.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°
角的面对角线有B1C,BC1,C1D,CD1,A1D,AD1,A1B,AB1共8条,同理与BD成60°
角的面对角线也有8条,因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线,共组成16对,又正方体共有6个面,所有共有16×
6=96对.因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°
角时,有AD1,计算与AD1成60°
角时有AC,故AD1与AC这一对被计算了2次),因此共有
×
96=48对.
解法2:
间接法.正方体的面对角线共有12条,从中任取2条有C
种取法,其中相互平行的有6对,相互垂直的有12对,∴共有C
-6-12=48对.
3.已知线段AB、CD分别在两条异面直线上,M、N分别是线段AB、CD的中点,则MN________
(AC+BD)(填“>
”,“<
”或“=”).
[答案] <
[解析] 如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AB、CD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.我们可以连接AD,取AD的中点为G,再连接MG、NG,在△ABD中,M、G分别是线段AB、AD的中点,则MG∥BD,且MG=
BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=
AC,又根据三角形的三边关系知,MN<
MG+NG,即MN<
BD+
AC=
(AC+BD).
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:
①直线AM与直线C1C相交;
②直线AM与直线BN平行;
③直线AM与直线DD1异面;
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论的序号为________.(注意:
把你认为正确的结论序号都填上)
[答案] ③④
[解析] AM与C1C异面,故①错;
AM与BN异面,故②错;
③,④正确.
5.已知四棱锥P-ABCD以及其三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是直角三角形,俯视图是矩形.
(1)求此四棱锥的体积;
(2)若E是PD的中点,求证:
AE⊥平面PCD;
(3)在
(2)的条件下,若F是PC的中点,证明:
直线AE和直线BF既不平行也不异面.
[解析]
(1)由题意可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,高h=2,所以此四棱锥的体积V=
S·
h=
4×
2=
(2)由三视图可知,PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥PA,∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
又PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,
∵AE平面PAD,∴AE⊥CD.
∵△PAD是等腰直角三角形,E是PD的中点,
∴AE⊥PD.
又PD∩CD=D,PD平面PCD,CD平面PCD,
∴AE⊥平面PCD.
(3)∵E,F分别是PD,PC的中点,
∴EF∥CD且EF=
CD,
又∵CD∥AB且CD=AB,∴EF∥AB且EF=
AB.
∴四边形ABEF为梯形,AE,BF是梯形的两腰,
∴AE与BF所在的直线必相交.
即直线AE和直线BF既不平行也不异面.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
,∠PAB=60°
.M是PD的中点.
(1)证明:
PB∥平面MAC;
(2)证明:
平面PAB⊥平面ABCD;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.
[解析]
(1)证明:
连接OM.
∵M是PD中点,矩形ABCD中O为BD中点,
∴OM∥PB.
又OM平面MAC,PB⃘平面MAC,
∴PB∥平面MAC.
(2